数列の和①(シグマ利用)

シグマを利用して色々な数列の和を求めていきます。

(例題1)
次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めよ。
(1)\(1\cdot2\cdot3,\ 2\cdot3\cdot4,\ 3\cdot4\cdot5,\cdots\)
(2)\(1+\displaystyle\frac{1}{2},\ 3+\displaystyle\frac{1}{4},\ 5+\displaystyle\frac{1}{8},\cdots\)

(1)

数列 \(1\cdot2\cdot3,\ 2\cdot3\cdot4,\ 3\cdot4\cdot5,\cdots\)
の第\(k\)項は、\(k(k+1)(k+2)\) だから、和を\(S_1\)とすると

\(S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^3+3k^2+2k)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+\displaystyle\frac{3}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{2}{2}n(n+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)\{n(n+1)+2(2n+1)+4\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)(n^2+5n+6)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\)

(2)

数列 \(1+\displaystyle\frac{1}{2},\ 3+\displaystyle\frac{1}{4},\ 5+\displaystyle\frac{1}{8},\cdots\)
の第\(k\)項は、\((2k-1)+(\displaystyle\frac{1}{2})^k\) だから、和\(S_2\)は

\(S_2=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{2k-1+(\displaystyle\frac{1}{2})^k\}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\displaystyle\frac{1}{2})^k\)

\(=\displaystyle\frac{2}{2}n(n+1)-n+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\{1-(\displaystyle\frac{1}{2})^n\}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}\)

(等比数列の和のほうは、分母分子2倍して)

\(=n^2+1-(\displaystyle\frac{1}{2})^n\)

(例題2)
次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めよ。
(1)\(1,\ 1+\displaystyle\frac{1}{5},\ 1+\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{5^2},\cdots\)
(2)\(6,66,666,6666,\cdots\)

(解答)
(1)
数列 \(1,\ 1+\displaystyle\frac{1}{5},\ 1+\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{5^2},\cdots\)
の第\(k\)項は、初項\(1\)、公比\(\displaystyle\frac{1}{5}\)、項数\(k\)の等比数列の和だから

(第\(k\)項)\(=\displaystyle\frac{1-(\displaystyle\frac{1}{5})^k}{1-\displaystyle\frac{1}{5}}\)

(分母分子を5倍して)

\(=\displaystyle\frac{5}{4}\{1-(\displaystyle\frac{1}{5})^k\}\)

したがってこの数列の和\(S_3\)は

\(S_3=\displaystyle\frac{5}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{1-(\displaystyle\frac{1}{5})^k\}\)

\(=\displaystyle\frac{5}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1-\displaystyle\frac{5}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\displaystyle\frac{1}{5})^k\)

(右側のシグマは等比数列の和を考えて)

\(=\displaystyle\frac{5}{4}n-\displaystyle\frac{5}{4}\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{5}\{1-(\displaystyle\frac{1}{5})^n\}}{1-\displaystyle\frac{1}{5}}\)

(分母分子に5を掛けて)

\(=\displaystyle\frac{5}{4}n-\displaystyle\frac{5}{16}\{1-(\displaystyle\frac{1}{5})^n\}\)

\(=\displaystyle\frac{5}{4}n+\displaystyle\frac{1}{16}\cdot(\displaystyle\frac{1}{5})^{n-1}-\displaystyle\frac{5}{16}\)

(2)

数列 \(6,66,666,6666,\cdots\)
の第\(k\)項は

\(6+6\cdot10+6\cdot10^2+\cdots+6\cdot10^{k-1}\)

\(=\displaystyle\frac{6(10^k-1)}{10-1}=\displaystyle\frac{2}{3}(10^k-1)\)

だから、この数列の和\(S_4\)は

\(S_4=\displaystyle\frac{2}{3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(10^k-1)\)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}10^k-\displaystyle\frac{2}{3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1\)

(左側のシグマは等比数列の和で)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{10(10^n-1)}{10-1}-\displaystyle\frac{2}{3}n\)

\(=\displaystyle\frac{20}{27}(10^n-1)-\displaystyle\frac{2}{3}n\)

\(=\displaystyle\frac{2}{27}\cdot10^{n+1}-\displaystyle\frac{2}{3}n-\displaystyle\frac{20}{27}\)

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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