数列の和②(シグマ利用・シグマの中にシグマ)

引き続きシグマを使った数列の和の例題です。

(例題1)
次の数列の和を求めよ。
\(1\cdot n,\ 2\cdot(n-1),\ 3\cdot(n-2),\ \cdots,\ (n-1)\cdot2,\ n\cdot1\)

まずは第\(k\)項を求めます。積になっている2数のうち左側の数字は、\(1,2,3,\cdots\) と増えているので、第\(k\)項では\(k\)。右側の数字は \(n,n-1,n-2,\cdots\) で、初項\(n\)、公差\(-1\)の等差数列だから、\(n+(k-1)\cdot(-1)=n-k+1\) です。
したがって第\(k\)項は、\(k(n-k+1)\) となります。自信がないときは\(k=1\)などを代入して確認するとよいです。

(解答)
\(1\cdot n,\ 2\cdot(n-1),\ 3\cdot(n-2),\ \cdots,\ (n-1)\cdot2,\ n\cdot1\)

の第\(k\)項は、\(k(n-k+1)\)

よってこの数列の和\(S\)は

\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(n-k+1)\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}nk-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}nk\) ですが、これは\(k\)を変化させたときの和で、\(k\)を変化させても\(n\)の部分は変わらないので、\(n\)は定数扱いになります。よって、\(n\)はシグマの外側に出せるのですが、具体的に和を書くと
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}nk=n\cdot1+n\cdot2+n\cdot3+\cdots+n\cdot n\)
\(=n(1+2+3+\cdots+n)\)
となります。

\(S=n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\)
\(=n\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)-\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)\{3n-(2n+1)+3\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\)

\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(n-k+1)\)
\(=-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n+1)k\)
\(=-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\)
と、\(k\)の部分をまとめてしまってもよいです。

(例題2)
次の計算をせよ。
(1)\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}3\right)\)
(2)\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left\{\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{l}k\right)\right\}\)

(解答)
(1)

外側のシグマを計算するのに、内側のシグマの結果が必要です。
したがって内側から先に計算していきます。

\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}3\right)\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}3m\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}n(n+1)\)

(2)

同様に内側のシグマから計算していきますが、何がシグマの変数になっているか、第何項までの和を考えるのかに注意していきます。

\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left\{\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{l}k\right)\right\}\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\displaystyle\frac{1}{2}l(l+1)\right)\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\displaystyle\frac{1}{2}l^2+\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\displaystyle\frac{1}{2}l\right)\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left\{\displaystyle\frac{1}{12}m(m+1)(2m+1)+\displaystyle\frac{1}{4}m(m+1)\right\}\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\displaystyle\frac{1}{6}m^3+\displaystyle\frac{1}{2}m^2+\displaystyle\frac{1}{3}m\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\displaystyle\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{24}n(n+1)\{n(n+1)+2(2n+1)+4\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{24}n(n+1)(n^2+5n+6)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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