2次式の連立方程式を解いていきます。1次式の連立方程式よりは難易度はやや上がりますが基本的な考え方は変わりません。
連立1次・2次方程式に限らず、連立方程式の基本的な解き方は文字を消去することです。
(例題1)
次の連立方程式を解け。
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
2x-y=3 \\
x^2-3x-y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
次の連立方程式を解け。
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
2x-y=3 \\
x^2-3x-y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
(解答)
\(2x-y=3\)・・・①
\(x^2-3x-y=-3\)・・・②
\(x^2-3x-y=-3\)・・・②
①より \(y=2x-3\) ・・・③で ②に代入して\(y\)を消去すると
\(x^2-3x-(2x-3)=-3\) よって
\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)から
\(x=2,3\)
\(x^2-3x-(2x-3)=-3\) よって
\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)から
\(x=2,3\)
③に代入して
\(x=2\)のとき \(y=1\)
\(x=3\)のとき \(y=3\)
\(x=2\)のとき \(y=1\)
\(x=3\)のとき \(y=3\)
以上から解は \((x,y)=(2,1),(3,3)\)
(例題2)
次の連立方程式を解け。
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
x^2-y^2+x+y=0 \\
x^2-3x+2y^2+3y=9
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
次の連立方程式を解け。
\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
x^2-y^2+x+y=0 \\
x^2-3x+2y^2+3y=9
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)
今度は簡単に文字を消去できそうにないので、1番目の式が因数分解できることに着目します。
(解答)
\(x^2-y^2+x+y=0\)・・・①
\(x^2-3x+2y^2+3y=9\)・・・②
\(x^2-y^2+x+y=0\)・・・①
\(x^2-3x+2y^2+3y=9\)・・・②
①より、\((x+y)(x-y)+x+y=0\)
\((x+y)(x-y+1)=0\) より
\(y=-x\) または \(y=x+1\)
\((x+y)(x-y+1)=0\) より
\(y=-x\) または \(y=x+1\)
(1)\(y=-x\)・・・③ のとき
②に代入して
\(x^2-3x+2x^2-3x=9\)
整理して
\(x^2-2x-3=0\) これを解くと
\((x+1)(x-3)=0\) よって \(x=-1,3\)
③に代入して
\(x=-1\) のとき \(y=1\), \(x=3\) のとき \(y=-3\)
②に代入して
\(x^2-3x+2x^2-3x=9\)
整理して
\(x^2-2x-3=0\) これを解くと
\((x+1)(x-3)=0\) よって \(x=-1,3\)
③に代入して
\(x=-1\) のとき \(y=1\), \(x=3\) のとき \(y=-3\)
(2)\(y=x+1\)・・・④ のとき
②に代入して
\(x^2-3x+2(x+1)^2+3(x+1)=9\)
整理すると
\(3x^2+4x-4=0\) これを解くと
\((x+2)(3x-2)=0\) よって\(x=-2,\displaystyle\frac{2}{3}\)
④に代入して
\(x=-2\) のとき \(y=-1\), \(x=\displaystyle\frac{2}{3}\) のとき \(y=\displaystyle\frac{5}{3}\)
②に代入して
\(x^2-3x+2(x+1)^2+3(x+1)=9\)
整理すると
\(3x^2+4x-4=0\) これを解くと
\((x+2)(3x-2)=0\) よって\(x=-2,\displaystyle\frac{2}{3}\)
④に代入して
\(x=-2\) のとき \(y=-1\), \(x=\displaystyle\frac{2}{3}\) のとき \(y=\displaystyle\frac{5}{3}\)
以上から
\((x,y)\)
\(=(-1,1),(3,-3),(-2,-1),(\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{5}{3}\))
\((x,y)\)
\(=(-1,1),(3,-3),(-2,-1),(\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{5}{3}\))
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。