極限で表された関数

極限で表された関数について見ていきます。
無限級数や数列・関数の極限の知識を使っていきます。

(例題1)
\(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\) について、\(y=f(x)\) は \(x=0\) で連続か。

(解答)
初項\(x^2\)、公比\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) の無限等比級数だから

(i)\(x=0\) のとき
無限級数は収束し
\(f(x)=0\)

(ii)\(x≠0\) のとき
\(0<\displaystyle\frac{1}{1+x^2}<1\) より無限級数は収束し
\(f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{1-\displaystyle\frac{1}{x^2+1}}=\displaystyle\frac{x^2(1+x^2)}{(x^2+1)-1}\)

\(=1+x^2\)

よって
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}=(1+x^2)=1\) であり、\(f(0)\  (=0)\) と等しくないので
\(x=0\) で連続でない。

(例題2)
(1)\(f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\)  を求めよ。

(2)上で定めた関数\(f(x)\)がすべての\(x\)について連続であるように、\(a,b\)の値を定めよ。

(解答)
(1)

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\)

①\(x<-1\)、\(x>1\) のとき
(\(x^{2n}\)が強い項なのでこれで割る)
\(f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{a}{x^{2n-2}}+\displaystyle\frac{b}{x^{2n-1}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{x}\)

②\(x=-1\) のとき
\(f(x)=\color{red}{f(-1)}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{(-1)^{2n}-(-1)^{2n-1}+a(-1)^2+b(-1)}{(-1)^{2n}+1}\)

\(=\displaystyle\frac{1+1+a-b}{1+1}\)\(=\displaystyle\frac{2+a-b}{2}\)

③\(x=1\) のとき
\(f(x)=\color{red}{f(1)}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1-1+a+b}{1+1}\)
\(=\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

④\(-1<x<1\) のとき
\(f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{0-0+ax^2+bx}{0+1}\)
\(=ax^2+bx\)

(2)

(1)より \(x<-1\)、\(-1<x<1\)、\(x>1\) のときは\(f(x)\)は連続。

よって\(x=±1\)での連続を考えればよい。
\(\displaystyle\lim_{x \to -1-0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to -1+0}f(x)=f(-1)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1-0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1+0}f(x)=f(1)\)

より
\(\displaystyle\lim_{x \to -1-0}(1-\displaystyle\frac{1}{x})=\displaystyle\lim_{x \to -1+0}(ax^2+bx)=\displaystyle\frac{2+a-b}{2}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1-0}(ax^2+bx)=\displaystyle\lim_{x \to 1+0}(1-\displaystyle\frac{1}{x})=\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

ゆえに
\(2=a-b=\displaystyle\frac{2+a-b}{2}\)・・・(ア)
かつ
\(a+b=0=\displaystyle\frac{a+b}{2}\)・・・(イ)

(ア)より
\(a-b=2\)・・・(ウ)
(イ)より
\(a+b=0\)・・・(エ)

(ウ)(エ)より
\(a=1\)、\(b=-1\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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