指数関数・三角関数の積分(基礎)

指数・三角関数の積分を微分の逆演算であることから求めていきます。

・指数関数の不定積分
\(e^x\)と\(a^x\) (\(a>0,\ a≠1\)) を微分すると

\((e^x)’=e^x\)
\((a^x)’=(\log a)a^x\)　(対数微分法を使えばよい)

となるので両辺積分して整理すると、\(e^x\)と\(a^x\)の不定積分は次のようになります。

(指数関数の不定積分)
\(C\)を積分定数として
①\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)
②\(\displaystyle\int a^x dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C\)
(\(a>0,\ a≠1\))

・三角関数の不定積分
同様に微分の逆演算であることから、三角関数の不定積分を求めていきます。

\((\cos x)’=-\sin x\)
\((\sin x)’=\cos x\)
\((\tan x)’=(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x})’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\)
\((\displaystyle\frac{1}{\tan x})’=(\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x})’=-\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\)

より、両辺を積分して整理すると次のようになります。符号のつきかたと、盲点になりやすい4番目の式に注意してください。基本の積分は下記の4つですが、これに帰着できるように三角関数独自の公式(倍角や積和など)も駆使していくことになります。

(三角関数の不定積分)
\(C\)を積分定数として
①\(\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C\)
②\(\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C\)
③\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C\)
④\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin^2x}dx=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)

困ったら積分結果を微分して検算してください。

(例題)
次の不定積分をそれぞれ求めよ。
(1)\(\displaystyle\int(3e^x-3^{x+2})dx\)
(2)\(\displaystyle\int\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}dx\)
(3)\(\displaystyle\int\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}dx\)
(4)\(\displaystyle\int\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\tan \displaystyle\frac{x}{2}dx\)
(5)\(\displaystyle\int\tan^2xdx\)
(6)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}dx\)

(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。

(1)
\(\displaystyle\int(3e^x-3^{x+2})dx\)
\(=\displaystyle\int(3e^x-9\cdot3^x)dx\)
\(=3e^x-9\cdot\displaystyle\frac{3^x}{\log3}+C\)
\(=3e^x-\displaystyle\frac{3^{x+2}}{\log3}+C\)

結果を見ても分かりますが、\(3^{x+2}\) の指数が1次式になっていて、\(x\)の係数が\(1\)なので、置換積分を考えると、\(3^{x+2}\) のまま積分してもよいことになります。今回は最初なので積分公式が使えるように\(3^2\)を外に出しました。

(2)

\(\sin^2,\cos^2\) の積分は半角の公式により2乗を解消するのが基本です。

\(\displaystyle\int\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\cos x)dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\sin x+C\)

(3)
\(\displaystyle\int\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}\sin x+C\)

(4)

変形していくと、\(\sin\)の2倍角の公式が利用できることに気づきます。

\(\displaystyle\int\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\tan \displaystyle\frac{x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\int\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}{\cos\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)

\(=\displaystyle\int\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\sin xdx\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos x+C\)

(5)

\(\sin^2x+\cos^2x=1\) の両辺を \(\cos^2x\) または \(\sin^2x\) で割った式を利用すると、\(\tan^2x\) や \(\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}\) を積分できる式に変換できます。
それか、\(\sin,\cos\) の式に変形して片方に統一してもよいです。

\(\tan^2x+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) より

\(\displaystyle\int\tan^2xdx\)

\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)

\(=\tan x-x+C\)

(別解)
\(\displaystyle\int\tan^2xdx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)

(後は同じ)

(6)
\(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}=\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\) より

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}-1)dx\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\)

(別解)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos^2x}{\sin^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}dx\)

\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}-1)dx\)

(後は同じ)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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