丸ごと置換する置換積分について見ていきます。
(例題1)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int(x-1)\sqrt[3]{x+2}dx\)
(2)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{3x+2}}dx\)
(3)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}dx\)
(4)\(\displaystyle\int\sqrt{1+2\sqrt{x}}dx\)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
\(\displaystyle\int(x-1)\sqrt[3]{x+2}dx\)
について
\(\sqrt[3]{x+2}=t\) とおくと
\(x+2=t^3\)
\(x=t^3-2\)
よって
\(dx=3t^2\)
ゆえに
\(\displaystyle\int(x-1)\sqrt[3]{x+2}dx\)
\(=\displaystyle\int(t^3-3)\cdot t\cdot3t^2dt\)
\(=\displaystyle\int(3t^6-9t^3)dt\)
\(=\displaystyle\frac{3}{7}t^7-\displaystyle\frac{9}{4}t^4+C\)
\(=\displaystyle\frac{3}{28}t^4(4t^3-21)+C\)
(もとの\(x\)に戻して)
\(=\displaystyle\frac{3}{28}(x+2)^{\frac{4}{3}}(4x-13)+C\)
(2)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{3x+2}}dx\)
について
\(\sqrt{3x+2}=t\) とおくと
\(3x+2=t^2\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{3}(t^2-2)\)
よって
\(dx=\displaystyle\frac{2}{3}tdt\)
ゆえに
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{3x+2}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t}\cdot\displaystyle\frac{1}{3}(t^2-2)\cdot\displaystyle\frac{2}{3}tdt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{9}(t^2-2)dt\)
\(=\displaystyle\frac{2}{9}(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-2t)+C\)
\(=\displaystyle\frac{2}{27}t(t^2-6)+C\)
\(=\displaystyle\frac{2}{27}\sqrt{3x+2}(3x-4)+C\)
(3)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}dx\)
について
\(\sqrt{x}=t\) とおくと
\(x=t^2\)
\(dx=2tdt\)
よって
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(1+t)t}\cdot2tdt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+t}dt\)
\(=2\log|1+t|+C\)
\(=2\log(1+\sqrt{x})+C\)
(正なので絶対値を外した)
(4)
\(\displaystyle\int\sqrt{1+2\sqrt{x}}dx\)
について
\(\sqrt{1+2\sqrt{x}}=t\) とおくと
\(1+2\sqrt{x}=t^2\)
\(2\sqrt{x}=t^2-1\)
\(4x=(t^2-1)^2\)
\(4dx=2(t^2-1)\cdot2tdt\)
\(dx=t(t^2-1)dt\)
よって
\(\displaystyle\int\sqrt{1+2\sqrt{x}}dx\)
\(=\displaystyle\int t\cdot t(t^2-1)dt\)
\(=\displaystyle\int(t^4-t^2)dt\)
\(=\displaystyle\frac{t^5}{5}-\displaystyle\frac{t^3}{3}+C\)
\(=\displaystyle\frac{t^3}{15}(3t^2-5)+C\)
\(=\displaystyle\frac{2}{15}(1+2\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}(3\sqrt{x}-1)+C\)
(例題2)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx\)
(2)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}dx\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx\)
について
\(e^x=t\) とおくと
\(e^xdx=dt\)
よって
\(dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
ゆえに
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t+1}\cdot\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t+1}dt\)
\(=\log|t+1|+C\)
\(=\log(e^x+1)+C\)
(正なので絶対を外した)
(2)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}dx\)
\(e^x=t\) とおくと
\(e^xdx=dt\)
よって
\(dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
ゆえに
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^{2x}}{e^x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{t+1}\cdot\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t+1}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t+1-1}{t+1}dt\)
\(=\displaystyle\int(1-\displaystyle\frac{1}{t+1})dt\)
\(=t-\log|t+1|+C\)
\(=e^x-\log(e^x+1)+C\)
※(1)(2)を
(1)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^x+1}\cdot e^xdx\)
(2)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\cdot e^xdx\)
とみると、どちらも\(f×f’\)型になっています。これからも \(e^x=t\) と置換するとうまくいく理由が分かります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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