\(\sqrt{a^2-x^2}\) 型の積分の求め方について見ていきます。
・\(x=\sinθ\) で置換する積分
\(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx\) や \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{a}{2}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\) などの \(\sqrt{a^2-x^2}\) を含む積分は次のような置換をするとうまくいくことが多いです。
\(x=a\sinθ\)
これは 関数 \(y=\sqrt{a^2-x^2}\) が
半円 \(x^2+y^2=a^2\) (\(y>0\))
を表していていることに由来します。(\(x=a\cosθ\) と置換することもできますが、後述する理由により通常は \(\sinθ\) のほうで置換します)
具体例を挙げて実際に積分計算をしてみると
\(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)
では、\(x=\sinθ\) とおくと積分区間は
\(0=\sinθ\)、\(1=\sinθ\) を \(-\displaystyle\frac{π}{2}≦θ≦\displaystyle\frac{π}{2}\) の範囲で解くことで・・・(注)
\(θ:0 \to \displaystyle\frac{π}{2}\) となり、\(dx=\cosθdθ\) より
\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{1-\sin^2θ}\cos dθ\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}|\cosθ|\cosθ dθ\)
(\(-\displaystyle\frac{π}{2}≦θ≦\displaystyle\frac{π}{2}\) より \(\cosθ≧0\))
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\cos^2θ dθ\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1+\cos2θ}{2}dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[θ+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2}\right]_{0}^{\frac{π}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{4}\)
となります。
\(θ\)の選び方はでつながっている単調変化の部分をとればよいので、無数に存在します。
例えば、\(\displaystyle\frac{π}{2}≦θ≦\displaystyle\frac{3}{2}π\) の範囲でとると、\(x:0 \to 1\) を \(θ:π \to \displaystyle\frac{π}{2}\) とすることも可能です。このとき \(|\cosθ|=-\cosθ\) になるので
\(I=-\displaystyle\frac{1}{2}\left[θ+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2}\right]_{π}^{\frac{π}{2}}=\displaystyle\frac{π}{4}\) であり同じ結果になります。
通常は、絶対値がそのまま外れ、\(θ\)と\(x\)の符号と単調増加性が一致する \(-\displaystyle\frac{π}{2}≦θ≦\displaystyle\frac{π}{2}\) の範囲でとります。
上記、置換の分かりやすさにより \(\sinθ\) のほうで置換します。
これを \(x=\cosθ\) で置換すると、例えば \(0≦θ≦π\) の範囲で\(θ\)をとると、絶対値は
\(\sqrt{1-\cos^2θ}=|\sinθ|=\sinθ\)
のようにそのまま外せますが、\(\cosθ\) は単調減少になってしまいますし、\(θ\) と \(x\) の符号も一致しません。\(-π≦θ≦0\) でとると単調増加性は同じですが、絶対値はそのまま外れないし、\(θ\) と \(x\) の符号も一致しません。
また、調整用の導関数も \(dx=-\sinθdθ\) となり符号がつくので、やはり\(\sinθ\)の置換のほうが便利です。
ところで、定積分 \(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\) は図形的に考えると、原点を中心とする半径\(1\)の円の面積の\(\displaystyle\frac{1}{4}\)になるので
\(I=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot1^2\cdotπ=\displaystyle\frac{π}{4}\)
と即座に求めることも可能です。よって被積分関数が \(\sqrt{a^2-x^2}\) やその類似型の場合には置換せずに面積計算で解いた方が楽になります。
なお、このタイプの置換はほとんど定積分のときに登場しますが、それは \(x=\sinθ\) から \(θ\)の積分区間を求める作業は、本質的には\(\sinθ\)の逆関数を考えていることになるからです。高校数学では三角関数の逆関数を扱わないので、積分結果に三角関数が絡まない変数\(θ\)が出てくる場合に\(x\)で表すことが基本的にはできないので不定積分ではほとんど扱わないことになります。(逆関数を適当に\(g(x)\)などとおけば表すことはできる)
(例題1)
次の定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{36-x^2}}\)
(2)\(\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)
(3)\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x-x^2}dx\)
(4)\(\displaystyle\int_{0}^{1}\{x(1-x)\}^{\frac{3}{2}}dx\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{36-x^2}}\) において
\(x=6\sinθ\) (\(-\displaystyle\frac{π}{2}≦θ≦\displaystyle\frac{π}{2}\))で置換すると
\(0=6\sinθ\)、\(3=6\sinθ\) を解くことにより
\(x:0 \to 3\) のとき \(θ:0 \to \displaystyle\frac{π}{6}\)
\(dx=6\cosθ\)
よって
\(\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{36-x^2}}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{6}}\displaystyle\frac{6\cosθdθ}{\sqrt{36-36\sin^2θ}}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{6}}\displaystyle\frac{6\cosθdθ}{\sqrt{36\cos^2θ}}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{6}}\displaystyle\frac{6\cosθ}{6|\cosθ|}dθ\)
(\(\cosθ>0\) より)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{6}}dθ\)
\(=[θ]_{0}^{\frac{π}{6}}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{6}\)
(2)
(置換するか、面積で考えるかになります)
\(\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\) において
\(x=\sinθ\) と置換すると
\(x:\displaystyle\frac{1}{2} \to 1\) のとき \(θ:\displaystyle\frac{π}{6} \to \displaystyle\frac{π}{2}\)
\(dx=\cosθdθ\) より
\(\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\sqrt{1-\sin^2θ}\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}|\cosθ|\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\cos^2θdθ\)
\(=\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1+\cos2θ}{2}dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[θ+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2}\right]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\displaystyle\frac{π}{2}-(\displaystyle\frac{π}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})\}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}\)
(別解)面積計算
\(I=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)
は、上図の色付きの部分の面積を表すから、\(60°\)の扇形の面積から三角形の面積を除いて
\(I=(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\displaystyle\frac{π}{3})-(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{π}{3})\)
\(=\displaystyle\frac{π}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}\)
(3)
\((x-\displaystyle\frac{1}{2})^2+y^2=\displaystyle\frac{1}{2^2}\)
となるので円の上半分を表していることが分かります。よって面積計算するか、平方根の中身を平方完成して置換することになります。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x-x^2}dx\)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{-(x^2-x)}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{(\displaystyle\frac{1}{2})^2-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2}dx\)
よって被積分関数は、中心を\((\displaystyle\frac{1}{2},0)\)とする半径\(\displaystyle\frac{1}{2}\) の円の上半分を表すので、上記定積分はこの半円の面積である。
したがって
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x-x^2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{2})^2\cdotπ\)
\(=\displaystyle\frac{π}{8}\)
(別解)置換すると
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x-x^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{(\displaystyle\frac{1}{2})^2-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2}dx\)
\(x-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sinθ\) と置換すると
\(x:0 \to 1\) のとき \(θ:-\displaystyle\frac{π}{2} \to \displaystyle\frac{π}{2}\)
\(dx=\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\) だから
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{(\displaystyle\frac{1}{2})^2-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\sqrt{(\displaystyle\frac{1}{2})^2-(\displaystyle\frac{1}{2}\sinθ)^2}\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1}{2}|\cosθ|\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1}{4}\cos^2θdθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1+\cos2θ}{2}dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8}\left[θ+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2}\right]_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8}(\displaystyle\frac{π}{2}+\displaystyle\frac{π}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{π}{8}\)
(4)
((3)と同様に平方完成すると置換の方法が見えてきます)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\{x(1-x)\}^{\frac{3}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\{-(x^2-x)\}^{\frac{3}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\{\displaystyle\frac{1}{4}-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2\}^{\frac{3}{2}}dx\)
\(x-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sinθ\) と置換すると
\(x:0 \to 1\) のとき \(θ:-\displaystyle\frac{π}{2} \to \displaystyle\frac{π}{2} \)
\(dx=\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\)
よって
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\{\displaystyle\frac{1}{4}-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2\}^{\frac{3}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\{\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\sin^2θ\}^{\frac{3}{2}}\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1}{(\sqrt{4})^3}(\sqrt{\cos^2θ})^3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{1}{16}|\cosθ|^3\cosθdθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{16}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\cos^4θdθ\)
(半角の公式を繰り返し使って次数を下げます)
\(=\displaystyle\frac{1}{16}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(\displaystyle\frac{1+\cos2θ}{2})^2dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{64}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(1+2\cos2θ+\cos^22θ)dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{64}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(1+2\cos2θ+\displaystyle\frac{1+\cos4θ}{2})dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{64}\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(\displaystyle\frac{3}{2}+2\cos2θ+\displaystyle\frac{\cos4θ}{2})dθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{64}\left[\displaystyle\frac{3}{2}θ+\sin2θ+\displaystyle\frac{\sin4θ}{8}\right]_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{64}\cdot\displaystyle\frac{3}{2}(\displaystyle\frac{π}{2}+\displaystyle\frac{π}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{3π}{128}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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