双曲線の漸近線

双曲線の漸近線について見ていきます。

・双曲線の漸近線

双曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)　(\(a>0,b>0\))
より、\(y\)について解くと
\(y=±\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\)
であり、\(|x|\)が十分大きいとき
\(y≒±\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt{x^2}\)
となるので、漸近線(曲線が近づく一定の直線)は

\(y=±\displaystyle\frac{b}{a}x\)

であることが予想できます。

(証明)
第1象限について考える。
双曲線の方程式は
\(y=\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\)　(\(x≧a\))
であり
\(d=\displaystyle\frac{b}{a}x-\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\)
とおくと

\(d=\displaystyle\frac{b}{a}(x-\sqrt{x^2-a^2})\)

(有理化して)

\(=\displaystyle\frac{b}{a}\cdot\displaystyle\frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}\)

よって
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}d=0\) となるので
第1象限において漸近線は \(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\) となる。

したがって双曲線の対称性により漸近線は
\(y=±\displaystyle\frac{b}{a}x\)
である。
(残りの象限について同様に示してもよい)

次に主軸が\(y\)軸である
双曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=-1\)　(\(a>0,b>0\))
についてですが、これも同様の理由で
\(y=±\displaystyle\frac{b}{a}x\)
が漸近線となります。

なお、標準型の漸近線の交点は原点であり、これは双曲線の中心と一致します。
(平行移動したり回転移動しても関係性は変わらず、漸近線の交点と中心は一致する)

また2つの漸近線が直交する双曲線を直角双曲線とよびます。直角双曲線であるための条件は
\(\displaystyle\frac{b}{a}\cdot(-\displaystyle\frac{b}{a})=-1\)
より \(a=b\) となります。よって \(x^2-y^2=1\) や \(\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{y^2}{4}=-1\) などが直角双曲線の例です。

(例題)
(1)双曲線 \(x^2-4y^2=16\) の漸近線を求めよ。
(2)2直線 \(y=±x\) を漸近線にもち、2点 \((0,1),(0,-1)\) を焦点とする双曲線の方程式を求めよ。

(解答)
(1)
\(x^2-4y^2=16\) の両辺を\(16\)で割って
\(\displaystyle\frac{x^2}{4^2}-\displaystyle\frac{y^2}{2^2}=1\)
よって漸近線は
\(y=±\displaystyle\frac{2}{4}x=±\displaystyle\frac{1}{2}x\)

(2)
焦点が\(y\)軸上にあるので双曲線の方程式は
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=-1\)　(\(a>0,b>0\))

漸近線が \(y=±x\) だから
\(\displaystyle\frac{b}{a}=1\)
よって \(a=b\)・・・①
また焦点の\(y\)座標が \(y=±1\) だから
\(a^2+b^2=1^2\)・・・②

①②より\(b\)を消去すると
\(2a^2=1\)
\(a^2=\displaystyle\frac{1}{2}\)
ゆえに \(b^2=\displaystyle\frac{1}{2}\)

したがって双曲線の方程式は
\(2x^2-2y^2=-1\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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