端点が半直線上にある動く線分の軌跡の例題です。
(例題)
原点を\(O\)とする座標平面において、\(x\)軸の正の方向と角度\(\displaystyle\frac{π}{6}\)をなす2本の半直線\(OA,OB\)を考える。半直線\(OA,OB\)はそれぞれ第1象限、第4象限にあるとする。長さ\(1\)の線分\(PQ\)の両端\(P\)および\(Q\)がそれぞれ\(OA,OB\)上を動くとき(ただし\(O\)は除く)
(1)\(α=\angle OPQ\) とするとき、線分\(OP,OQ\)の長さを\(α\)を用いて表せ。
(2)線分\(PQ\)の中点\(M\)の軌跡の方程式を求めよ。
(解答)
(1)
\(\angle OQP=π-(α+\displaystyle\frac{π}{6}\cdot2)\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}π-α\)
\(α>0\)、\(\displaystyle\frac{2}{3}π-α>0\) より
\(0<α<\displaystyle\frac{2}{3}π\)
よって正弦定理から
\(\displaystyle\frac{OP}{\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α)}=\displaystyle\frac{1}{\sin\displaystyle\frac{π}{3}}\)
\(OP=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α)\)
\(\displaystyle\frac{OQ}{\sinα}=\displaystyle\frac{1}{\sin\displaystyle\frac{π}{3}}\)
\(OQ=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\sinα\)
(2)
(1)より\(P,Q\)の座標は
\(P\left(OP\cos\displaystyle\frac{π}{6},\ OP\sin\displaystyle\frac{π}{6}\right)\)
\(=(\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α),\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α))\)
\(Q\left(OQ\cos(-\displaystyle\frac{π}{6}),\ OQ\sin(-\displaystyle\frac{π}{6})\right)\)
\(=(\sinα,\ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\sinα )\)
よって\(PQ\)の中点を\(M(x,y)\)とすると
(和積を利用して)
\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α)+\sinα\right)\)
\(=\sin\displaystyle\frac{π}{3}\cos(\displaystyle\frac{π}{3}-α)\)
\(x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\displaystyle\frac{π}{3}-α)\)・・・①
\(y=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\sin(\displaystyle\frac{2}{3}π-α)-\sinα\right)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cos\displaystyle\frac{π}{3}\sin(\displaystyle\frac{π}{3}-α)\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(\displaystyle\frac{π}{3}-α)\)・・・②
①②より
\(\cos(\displaystyle\frac{π}{3}-α)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}x\)、\(\sin(\displaystyle\frac{π}{3}-α)=2\sqrt{3}y\) だから
\(\displaystyle\frac{4}{3}x^2+12y^2=1\)
また \(0<α<\displaystyle\frac{2}{3}π\) より \(-\displaystyle\frac{π}{3}<\displaystyle\frac{π}{3}-α<\displaystyle\frac{π}{3}\) であるから①②より
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}<x≦\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(-\displaystyle\frac{1}{4}<y<\displaystyle\frac{1}{4}\)
したがって求める軌跡は
楕円 \(\displaystyle\frac{4}{3}x^2+12y^2=1\) (\(x>\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\))
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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