極座標と直交座標

極座標の定義と直交座標との関係性について見ていきます。

・極座標

座標平面上の点\(P\)は、原点\(O\)からの距離\(r\)と\(x\)軸の正の部分となす角\(θ\)によって定めることが可能です。つまり
\(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)=r\left(\begin{array}{c} \cosθ \\ \sinθ \\ \end{array} \right)\)

で表さます。そこで距離と角を並べた \((r,θ)\) という点\(P\)の表示を極座標といい、定点\(O\)を極、半直線である\(x\)軸の正の部分を始線、角\(θ\)を偏角とよびます。\(θ\)は弧度法を用います。

ある極座標 \((r,θ)\) の表す点はただ1つですが、ある点を表す極座標は\(θ\)を一般角にとると無数に存在します。そこで偏角を \(0≦θ<2π\) に制限することもあります。この制限により極以外の点の極座標は1通りに決まります。
また極(原点)の極座標は \((0,θ)\) (\(θ\)は任意) となります。

なお以上のように極と始線を原点と\(x\)軸の正の部分にとることが多いですが、別の点や半直線を極や始線にとることも可能です。

・極座標と直交座標

極座標 \((r,θ)\) を利用する場合、直交座標との対応がしやすいように極を原点、始線を\(x\)軸の正の部分にとることが多いです。このとき直交座標\((x,y)\)を\(r,θ\)で表すと図より

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = r\cosθ \\ y = r\sinθ \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

となります。また逆に\(r,θ\)を\(x,y\)で表すと

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt{x^2+y^2}\ \\ \cosθ =\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ \sinθ=\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \ (ただし r≠0) \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

となります。これらの等式は極座標と直交座標の変換に利用します。特に極座標についての方程式(極方程式という) \(r=f(θ)\) と直交座標で表された方程式 \(F(x,y)=0\) の変換でよく利用されます。

(注)
極方程式の場合では、\(r<0\) の場合も扱うので次のように変換します。
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} r^2 = x^2+y^2\ \\ \cosθ =\displaystyle\frac{x}{r},\ \sinθ=\displaystyle\frac{y}{r} \ (ただし r≠0) \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

(例題)
\(O\)を極とする極座標で表された2点 \(P(3\sqrt{2},\displaystyle\frac{π}{6}),\ Q(4,\displaystyle\frac{5}{12}π)\) があるとき、線分\(PQ\)の長さおよび\(△OPQ\)の面積を求めよ。

(解答)

\(\angle POQ=\displaystyle\frac{5}{12}π-\displaystyle\frac{π}{6}=\displaystyle\frac{π}{4}\) より

(余弦定理より)
\(PQ=\sqrt{4^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot4\cdot3\sqrt{2}\cos\displaystyle\frac{π}{4}}\)
\(=\sqrt{10}\)

\(△OPQ=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\sqrt{2}\sin\displaystyle\frac{π}{4}\)
\(=6\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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