2つの放物線の大小関係の問題について見ていきましょう。次の4問は文章は何となく似ていますが、設問ごとに聞かれていることが違うことに注意してください。
(問題)
\(-2≦x≦2\) の範囲で、関数 \(f(x)=x^2+2x-2\), \(g(x)=-x^2+2x+a+1\) について、次の条件を満たすような定数\(a\)の値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべての\(x\)に対して、\(f(x)<g(x)\)
(2)ある\(x\)に対して,\(f(x)<g(x)\)
(3)すべての組 \(x_1,x_2\)に対して、\(f(x_1)<g(x_2)\)
(4)ある組 \(x_1,x_2\)に対して、\(f(x_1)<g(x_2)\)
(解答や考え方)
まず(1)(2)と(3)(4)の違いについて。(1)(2)は同じ\(x\)の値での\(f(x)\)と\(g(x)\)の大小を比較していますが、(3)(4)は別の\(x\)(同じでもよい)での大小を比較しています。
(1)と(2)の違いについて。(1)は範囲内のどの\(x\)についても \(f(x)<g(x)\) が成り立たなければなりませんが、(2)はある\(x\)について \(f(x)<g(x)\) が成り立てばよいので、1つでも条件を満たす\(x\)が存在すればよいです。
(1)(2)ともに、同じ\(x\)についての大小比較なので、\(h(x)=g(x)-f(x)\) とおくことができて、\(h(x)\)について考えていけばよいです。
(1)(2)ともに、同じ\(x\)についての大小比較なので、\(h(x)=g(x)-f(x)\) とおくことができて、\(h(x)\)について考えていけばよいです。
\(h(x)=g(x)-f(x)=-2x^2+a+3\) とおく。
(1)
\(-2≦x≦2\) の範囲のすべての\(x\)に対して \(f(x)<g(x)\)
\(-2≦x≦2\) の範囲のすべての\(x\)に対して \(f(x)<g(x)\)
つまり、この範囲内のすべての\(x\)で \(h(x)>0\) が成り立つ条件は
\(h(x)\)の最小値が0より大きいことである。
\(h(x)\)の最小値が0より大きいことである。
\(h(x)\)のグラフは、上に凸で軸が\(y\)軸なので、最小値は\(h(-2)\)と\(h(2)\)
\(h(-2)=h(2)=a-5>0\) より \(a>5\)
もとの2つの放物線のグラフの位置関係については、\(-2≦x≦2\) の範囲で常に\(g(x)\)が\(f(x)\)より上側です。
(2)
ある\(x\)に対して \(f(x)<g(x)\) が成り立つ条件は、ある\(x\)に対して\(h(x)>0\)が成り立つ条件です。\(-2≦x≦2\) の範囲で\(h(x)\)のグラフが少しでも正の部分にあればよいので、(\(h(x)\)の最大値)\(>0\) を考えます。
\(-2≦x≦2\) の範囲内のある\(x\)について、\(h(x)>0\)となる条件は
\(h(x)\)の最大値が0より大きいことである。
\(h(x)\)の最大値が0より大きいことである。
\(h(x)=-2x^2+a+3\) のグラフは上に凸で軸が\(y\)軸なので、最大値は \(h(0)\)
よって \(h(0)=a+3>0\) より \(a>-3\)
よって \(h(0)=a+3>0\) より \(a>-3\)
もとの2つの放物線のグラフの位置関係については、\(-2≦x≦2\) の範囲でどこかに\(g(x)\)が\(f(x)\)より上側となる箇所があります。
(3)~(4)
(3)(4)では \(x_1,x_2\)は互いに関係ないので \(h(x)=g(x)-f(x)\)として考えることができません。なのでどうするかというと、２つのグラフの最大値最小値に着目し、題意を満たす条件を求めます。
(3)では \(-2≦x≦2\) の範囲において、あらゆる\(f(x_1)\)<あらゆる\(g(x_2)\) となる条件なので、\(f(x)\)の中で最も大きい値<\(g(x)\)の中で最も小さい値 となればよいので、\(f(x)\)の最大値と\(g(x)\)の最小値に着目します。
(3)
題意を満たすには、\(f(x)\)の最大値よりも\(g(x)\)の最小値が大きければよい。
題意を満たすには、\(f(x)\)の最大値よりも\(g(x)\)の最小値が大きければよい。
\(f(x)=x^2+2x-2=(x+1)^2-3\) で、軸が\(x=-1\)、下に凸のグラフより \(f(2)\)が最大値
\(g(x)=-x^2+2x+a+1=-(x-1)^2+a+2\) で、軸が\(x=1\)、上に凸のグラフより \(g(-2)\)が最小値
\(g(x)=-x^2+2x+a+1=-(x-1)^2+a+2\) で、軸が\(x=1\)、上に凸のグラフより \(g(-2)\)が最小値
よって \(f(2)<g(-2)\) \(6<a-7\)
\(∴a>13\)
\(∴a>13\)
2つの放物線の位置関係を考えてもよいです。\(f(x)\)と\(g(x)\)の間に、\(x\)軸に平行な線が引けて\(g(x)\)を上側、\(f(x)\)を下側にして、両方を分断しているイメージです。
(4)
(4)について。ある組 \(x_1,x_2\)に対して、\(f(x_1)<g(x_2)\) なので、1つでも条件を満たす \(x_1,x_2\) があればよいです。条件を満たさないギリギリは \(f(x)\)の最小値=\(g(x)\)の最大値 です。よって少しでも、\(g(x)\)の最大値が\(f(x)\)の最小値を超えれば、\(f(x_1)<g(x_2)\)を満たす\(x_1,x_2\) が存在することになるので、求める条件は \(f(x)\)の最小値<\(g(x)\)の最大値 です。
題意を満たすには、\(f(x)\)の最小値よりも\(g(x)\)の最大値が大きければよい。
\(f(x)=x^2+2x-2=(x+1)^2-3\) で、軸が\(x=-1\)、下に凸のグラフより
最小値は \(-3\)
最小値は \(-3\)
\(g(x)=-x^2+2x+a+1=-(x-1)^2+a+2\) で、軸が\(x=1\)、上に凸のグラフより
最大値は \(a+2\)
最大値は \(a+2\)
よって \(a+2>-3\) となり \(a>-5\)
2つのグラフの位置関係は下図となります。\(x_1=-1\) (\(f(x)\)の軸の位置)
\(x_2=1\) (\(g(x)\)の軸の位置) を筆頭に、\(f(x_1)<g(x_2)\) を満たす\(x_1,x_2\)が存在することになります。
\(x_2=1\) (\(g(x)\)の軸の位置) を筆頭に、\(f(x_1)<g(x_2)\) を満たす\(x_1,x_2\)が存在することになります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。