三角形の角の二等分線 | 教えて数学理科

三角形の角の二等分線に関する問題を見ていきます。問題を解く前に先に内角の二等分線に関するとても大事な定理を紹介します。

(内角の二等分線に関する定理)
\(△ABC\)において、\(\angle A\)の二等分線と\(BC\)の交点を\(D\)とすると

\(AB:AC=BD:DC\)

(証明)
図のように、角\(θ,α\)を設定する。
\(△ABD\)において、正弦定理より
\(\displaystyle\frac{AB}{\sinα}=\displaystyle\frac{BD}{\sinθ}\)
よって、\(AB=BD\displaystyle\frac{\sinα}{\sinθ}\)・・・①

\(△ADC\)において、正弦定理より
\(\displaystyle\frac{AC}{\sin(180°-α)}=\displaystyle\frac{DC}{\sinθ}\)

\(\sin(180°-α)=\sinα\)から、
\(AC=DC\displaystyle\frac{\sinα}{\sinθ}\)・・・②

したがって、\(AB:AC=(BD\displaystyle\frac{\sinα}{\sinθ}):(DC\displaystyle\frac{\sinα}{\sinθ})=BD:DC\)

(問題)
\(AB=6,BC=5,CA=4\)である\(△ABC\)において、\(\angle A\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とするとき、\(AD\)の長さを求めよ。

角の二等分線の定理を用いてとりあえず\(BD,DC\)を求めます。最終的に\(AD\)を求めるので、例えば\(△ABD\)に着目するならば、\(\cos B\)が分かれば余弦定理を利用できるので、全体の三角形\(ABC\)から\(\cos B\)を求めます。

(解答)
\(AD\)は\(\angle A\)の二等分線だから
\(BD:DC=6:4=3:2\)
\(BC=5\)　だから　\(BD=5×\displaystyle\frac{3}{3+2}=3\)

\(△ABD\)において、余弦定理を用いると
\(AD^2=36+9-2・6・3\cos B\)・・・①

また、\(△ABC\)において余弦定理より
\(\cos B=\displaystyle\frac{36+25-16}{2・6・5}=\displaystyle\frac{3}{4}\)

①に代入して整理すると
\(AD^2=18\)
\(AD>0\)　だから　\(AD=3\sqrt{2}\)

三角形　二等分線　例1

※参考までに、角の二等分線の比の定理を知らない場合でもこの問題は解くことができます。(結構大変ですが)

(別解)
図のように角\(θ\)と辺の長さ\(AD=x,DC=a\)を設定する。

三角形　二等分線　別解

\(△ABD\)において余弦定理より
\(\cosθ=\displaystyle\frac{36+x^2-(5-a)^2}{2・6・x}\)・・・①
\(△ADC\)において余弦定理より
\(\cosθ=\displaystyle\frac{16+x^2-a^2}{2・4・x}\)・・・②
①②から\(\cosθ\)を消去して整理すると
\(x^2-a^2-20a+26=0\)・・・③

また、\(△ABC\)において余弦定理より
\(\cos C=\displaystyle\frac{16+25-36}{2・4・5}=\displaystyle\frac{1}{8}\)・・・④
\(△ADC\)において余弦定理より
\(\cos C=\displaystyle\frac{16+a^2-x^2}{2・4・a}\)・・・⑤
④⑤より \(\cos C\)を消去して整理すると
\(x^2-a^2+a-16=0\)・・・⑥

③－⑥より
\(-21a+42=0\) 　よって \(a=2\)
\(a=2\)を⑥に代入して
\(x^2=18\)　\(x>0\)だから　\(x=AD=3\sqrt{2}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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