工夫① 公式の暗記と利用
よくあるパターンの展開を公式として暗記して利用する方法です。公式をド忘れした場合でも、導けるようにしましょう。
よくあるパターンの展開を公式として暗記して利用する方法です。公式をド忘れした場合でも、導けるようにしましょう。
２次の公式
①\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
②\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
③\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
④\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
⑤\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
⑥\((a+b+c)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
①\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
②\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
③\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
④\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
⑤\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
⑥\((a+b+c)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
3次の公式
⑦\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
⑧\((a-b)^3=a^3\color{red}{-}3a^2b+3ab^2\color{red}{-}b^3\)
⑨\((a+b)(a^2\color{red}{-}ab+b^2)=a^3+b^3\)
⑩\((a\color{red}{-}b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
⑪\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
⑦\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
⑧\((a-b)^3=a^3\color{red}{-}3a^2b+3ab^2\color{red}{-}b^3\)
⑨\((a+b)(a^2\color{red}{-}ab+b^2)=a^3+b^3\)
⑩\((a\color{red}{-}b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
⑪\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
⑦だけ示します。他の公式も各自、示してみて下さい。
\((a+b)^3\)
\(=(a+b)^2(a+b)\)
\(=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\)
\(=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\(=(a+b)^2(a+b)\)
\(=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\)
\(=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
※⑧も⑦同様の方法でも示せるが、⑦の\(b\)を\(-b\)に置き換えて考えると
\((a-b)^3\)
\(=(a+(-b))^3\)
\(=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\)
\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(=(a+(-b))^3\)
\(=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\)
\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(-b\) が何回(偶数回か奇数回)掛けられているかを考えれば符号の間違いが起きにくくなります。
※⑨⑩の一般的な場合(n次式)について知っておくと符号の間違いが起きにくくなります。
nが奇数のとき
\((a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-・・・+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n+b^n\)
↑ここは＋ ↑＋と－が入れ替わり
nが自然数のとき
\((a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+・・・+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n\)
↑ここだけ－ ↑あとは全部+
\((a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-・・・+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n+b^n\)
↑ここは＋ ↑＋と－が入れ替わり
nが自然数のとき
\((a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+・・・+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n\)
↑ここだけ－ ↑あとは全部+
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以上になります。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。
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