・コーシー・シュワルツの不等式(和の形)
実数\(a_1～a_{n},b_1～b_{n}\)について
\((a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)\)
\(≧(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})^2\)
等号成立は
\(a_1k-b_1=a_2k-b_2=・・・=a_{n}k-b_{n}=0\) となる実数\(k\)が存在するときである。
(比で表すと、\(a_{i}≠0\) (\(i=1,2,・・・n\))のとき
\(\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\displaystyle\frac{b_2}{a_2}=・・・=\displaystyle\frac{b_{n}}{a_{n}}(=k)\), \(a_{i}=0\)のとき\(b_{i}=0\)である)
(証明)
\(f(k)=(a_1k-b_1)^2+(a_2k-b_2)^2+・・・+(a_{n}k-b_{k})^2\)・・・① とおく。
\(f(k)\)は\(k\)の2次関数で、\(f(k)≧0\)より、判別式\(D≦0\)となるので、
\(\displaystyle\frac{D}{4}\)
\(=\{-(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})\}^2\)
\(-(a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)≦0\)
よって
\((a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)\)
\(≧(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})^2\)
が得られる。
等号成立は、\(D=0\)のときなので\(f(k)=0\)となる\(k\)が存在するときであり、①よりすべての項が\(0\)となることから、
\(a_1k-b_1=a_2k-b_2=・・・=a_{n}k-b_{n}=0\) となる実数\(k\)が存在するときである。
また、\(a_1～a_{n}\)の全てが\(0\)でないときは\(k\)を消去することにより、
\(\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\displaystyle\frac{b_2}{a_2}=・・・=\displaystyle\frac{b_{n}}{a_{n}}(=k)\) が得られる。また、\(a_{i}=0\) (\(i=1,2,・・・n\))のときは\(b_{i}=0\)である。