虚数

新たな数、虚数について学んでいきます。

・複素数
2次方程式\(x^2=3\)は、有理数の範囲では解はありませんが、無理数を導入し数の範囲を実数まで広げることで解が存在することになります。
しかし実数の2乗は負にならないので、\(x^2=-3\)のような2次方程式は実数の範囲では解をもちません。そこでこのような方程式でも解をもつように数の範囲を拡張してみます。

\(2i\),\(1+3i\),\(-4+\sqrt{3}i\) のように、実数\(a,b\)を用いて \(a+bi\) の形で表される数を複素数とよびます。また、\(a\)を実部、\(b\)を虚部といいます。

複素数 \(α=a+bi\)において、虚部が\(0\)つまり\(b=0\)のときは \(α=a\)であり\(α\)は実数です。(実数も複素数の一部となります)　また\(b≠0\)のとき、つまり\(α\)が実数でないとき、\(α\)を虚数とよびます。虚数のなかでも、\(2i\),\(-6i\),\(\sqrt{2}i\)のように、実部が\(0\)のとき、つまり\(α=0\)かつ\(b≠0\)のとき、\(α\)を純虚数とよびます。

ちなみに、\(0\)は実数です。(\(a=b=0\)のとき)

・複素数の大小について
実数の範囲では、正負\(0\)と大小関係が存在しますが、虚数では大小関係は考えません。その理由については\(i\)の正負を考えると矛盾が生じるからです。

\(i>0\) とすると
両辺に\(i(>0)\)をかけて \(i^2>0\) つまり \(-1>0\)　(矛盾)

\(i<0\) とすると
両辺に\(i(<0)\) をかけて(不等号が入れかわることに注意して) \(i^2>0\) つまり　\(-1>0\) (矛盾)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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