2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解を\(α,β\)とすると
\(ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)\) と表すことができます。
・恒等式 \(ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)\)
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)の解を\(α,β\)とすると、解と係数の関係から
\(α+β=-\displaystyle\frac{b}{a}\), \(αβ=\displaystyle\frac{c}{a}\) であるから
\(ax^2+bx+c\)
\(=a(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\displaystyle\frac{b}{c})\)
\(=a\{x^2-(α+β)x+αβ\}\)
\(=a(x-α)(x-β)\)
と、解を用いて因数分解できることなります。
なお \(ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)\)は\(x\)についての恒等式です。
\(ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)\)
(例題1)
(1)2次方程式 \((x-8)(x-9)+(x-10)(x-12)=0\) の2解を\(α,β\)とするとき、
\(2(11-α)(11-β)\) の値を求めよ。
(2)2次方程式 \((x-a)(x-b)-2x+1=0\) の解を\(α,β\)とするとき、
\((x-α)(x-β)+2x-1=0\) の解を\(a,b\)を用いて表せ。
(解答)
(1)
\((x-8)(x-9)+(x-10)(x-12)=0\)の\(x^2\)の係数は\(2\)なので
\((x-8)(x-9)+(x-10)(x-12)=2(x-α)(x-β)\)・・・(A)
求める値に着目すると\(x=11\)と代入すればよさそうです。
\(x=11\)を代入すると
\(3・2+1・(-1)=2(11-α)(11-β)\)
よって
\(2(11-α)(11-β)\)\(=\)\(5\)
(2)
\((x-a)(x-b)-2x+1=0\)の\(x^2\)の係数は\(1\)なので
\((x-a)(x-b)-2x+1=(x-α)(x-β)\)
\(-2x+1\)を移項すると
\((x-a)(x-b)=(x-α)(x-β)+2x-1\)
これは、\((x-α)(x-β)+2x-1=0\)の解が\(x=a,b\)であることを表している。
よって解は \(x=a,b\)
(例題2)
2次方程式 \(x^2-px+1=0\) の2つの解を\(α,β\)とし、2次方程式 \(x^2-x+q=0\) の2つの解を\(γ,δ\)とする。このとき
\((γ-α)(γ-β)(δ-α)(δ-β)\)を\(p,q\)を用いて表せ。
(解答)
\(x^2-px+1=(x-α)(x-β)\) より\(x=γ,δ\)を代入して
\(γ^2-pγ+1=(γ-α)(γ-β)\)・・・①
\(δ^2-pδ+1=(δ-α)(δ-β)\)・・・②
また、解と係数の関係から、\(γ+δ\),\(γδ\)も出しておきます。
ここで、\(γ,δ\)は\(x^2-x+q=0\)の解なので
\(γ^2-γ+q=0\), \(δ^2-δ+q=0\)
解と係数の関係から
\(γ+δ=1\), \(γδ=q\)
①②より
\((γ-α)(γ-β)(δ-α)(δ-β)\)
\(=(γ^2-pγ+1)(δ^2-pδ+1)\)・・・(※)
\(=\{(1-p)γ+1-q\}\{(1-p)δ+1-q\}\)
\(=(1-p)^2γδ+(1-p)(1-q)(γ+δ)\)\(+(1-q)^2\)
\(=(1-p)^2q+(1-p)(1-q)\)\(+(1-q)^2\)
\(=q-2pq+p^2q\)\(+1-p-q+pq\)\(+1-2q+q^2\)
\(=\)\(p^2q-pq+q^2-p-2q+2\)
1個目の方程式にも、解と係数の関係を利用すると
\(α+β=p\), \(αβ=1\) なので
\((γ-α)(γ-β)(δ-α)(δ-β)\)を2個ずつ展開して
\(\{γ^2-(α+β)γ+αβ\}\)\(\{δ^2-(α+β)δ\)\(+αβ\}\)
\(=(γ^2-pγ+1)(δ^2-pδ+1)\)
となり、(※)と同じになり以下同様です。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。