平均変化率・微分係数

 

これから「微分」という分野について学習していきます。
微分には様々な用途がありますが、そのうちの1つを簡単に言ってしまうと「グラフを書くための道具」です。今までグラフを書くときには具体的な点をいくつか座標平面に書いて線で結ぶという作業をしましたが、この微分のとっかかりも似たようなものです。

 

 

・平均変化率
関数 \(y=f(x)\) において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで変化するとき、\(y\)の値は\(f(a)\)から\(f(b)\)まで変化します。このとき\(x\)の変化量に対する\(y\)の変化量の割合

\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

を、\(x\)が\(a\)から\(b\)まで変化するときの、関数\(y=f(x)\) の平均変化率といいます。
図を見てもらえれば分かると思いますが、この平均変化率は2点を結ぶ直線の傾きとなります。

平均変化率

 

今までグラフを書こうとしたときと同様に、2点を具体的に考えてその変化量を追おうとしているわけです。図では\(y=f(x)\)のグラフが図示されていますが、実際に形状が分からない場合にはこの2点の間がどうなっているか不明です。直線的な変化かもしれませんし、曲線的な変化かもしれませんし、増え方や減り方がどうなっているかも分かりません。2次関数などのときには特に気にせずになめらかな曲線で結びましたが、よく考えるとこの書き方は雑です。
そこで2点間の間がどうなっているかを考えていくわけですがその方法は単純で、2点を近づけてその間を狭くしてやればいいだけです。ただし2点を近づけるといってもただ近づけるというわけではなく、ほとんど重なるくらいに近づけていきます。これが極限を考えるということであり、以下詳しく説明していきます。

 

・極限値
関数 \(f(x)=x^2\) において、2点 \((1,1)\), \((1+h,(1+h)^2)\) の平均変化率を考えると

\(\displaystyle\frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1}=\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}\)・・・①

であり、\(h\)の値を
\(0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,\cdots\)
と\(0\)に近づけていきます。(このとき2点は近づいていくことになる)

すると、平均変化率の値は①より
\(2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\cdots\)
と一定の値\(2\)に限りなく近づいていくことになります。

今、\(h\)を正の値の方から\(0\)に近づけましたが、負の値の方向から近づけても同様に\(2\)に近づくことになります。

平均変化率 \(\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}\) は \(h=0\) では定まりませんが、\(h\)が\(0\)とは異なる値をとりながら\(0\)に限りなく近づくとき、\(\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}\) は一定の値\(2\)に限りなく近づくことになり、この値\(2\)を、\(h\)が限りなく近づくときの\(\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}\) の極限値といい、次のように表します。

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}=2\)

 

計算でこの極限値を求めるには分母分子を\(h\)で割って\(0\)を代入することになります。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{h^2+2h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}(h+2)=2\)
\(h\)で割ることができるのは、\(h\)が\(0\)とは異なる値だからです(ただし限りなく\(0\)には近いです)。それと\(0\)とは違う値なのに、最後に\(h=0\)を代入していてよいのかということですが、\(h\)を\(0\)に近づければ\(h+2\)は\(2\)に近づくということで納得してください。

 

また、一般的には \(y=f(x)\) において \(x\)が\(a\)と異なる値をとりながら限りなく\(a\)に近づくとき、\(f(x)\)が一定の値\(α\)に限りなく近づくならば

\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=α\)
または
\(x \to a\)  のとき \(f(x) \to α\)

と表し、\(α\)を\(x\)が\(a\)に近づくときの\(f(x)\)の極限値といいます。

 

\(f(x)\)が一定の値に近づかない(極限値が存在しない)こともありますが、数Ⅱの範囲では基本的に極限値は存在すると考えてよいです。

 

 

・微分係数
そして関数 \(y=f(x)\)における 平均変化率の極限を考えていきます。

関数 \(y=f(x)\) の \(a\)から\(b\)まで変化するときの平均変化率

\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

において、\(b\)を限りになく\(a\)に近づけたとき、この平均変化率がある一定の値に限りなく近づくならば、その極限値を、関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) における微分係数といい、\(f'(a)\) で表します。つまり

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a}\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

であり、\(b-a=h\) と置き換えると、\(b \to a\) のとき \(h \to 0\) だから

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

となります。

 

この2式が微分の定義ですが、置き換えで変形しただけなので本質的にはこの2式は同じものです。

 

最後にこの微分係数\(f'(a)\) が \(y=f(x)\) のグラフにおいてどのような意味をもつかを考えていきます。

接線の傾き 

グラフ上に\(x\)座標がそれぞれ \(a\),  \(a+h\)  である2点\(A,B\)をとると、

\(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

は直線\(AB\)の傾きを表していることは先ほどやりました。

ここで、\(h\)を\(0\)に限りなく近づけると、点\(B\)はグラフ上を動いて限りなく点\(A\)に近づくことになります。このとき

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

だから、直線\(AB\)は点\(A\)を通る傾き\(f'(a)\)の直線\(l\)に限りなく近づくことになります。
この直線\(l\)を点\(A\)における曲線\(y=f(x)\)の接線、点\(A\)を接点とよびます。

またこのとき、「直線\(l\)は\(y=f(x)\)と点\(A\)で接する」と表現します。

 

(接線の定義)
点\(A\)を通る傾き\(f'(a)\)の直線を、点\(A\)における接線という。
(似たような名前の「点\(A\)を通る接線」というものもありますが、「点\(A\)における接線」と、「点\(A\)を通る接線」は違うものです。点\(A\)における接線は点\(A\)の\(x\)座標 \(x=a\)の微分係数\(f'(a)\)が傾きである必要があります。一方点\(A\)を通る接線は点\(A\)を通りさえすればよいので、他の点における接線がたまたま点\(A\)を通る場合でも、点\(A\)における接線でもどちらも構いません。)

 

接線と、もとの曲線の方程式を連立して得られる方程式は、接点の\(x\)座標の値を重解として持ちます。
一般に整式で表される関数 \(y=f(x)\)と、 点\(A(a,f(a))\)を通る直線\(l\) \(y=g(x)\)について
「\(f(x)-g(x)=0\) が \(x=a\) を重解にもつ \(⇔\) 直線\(l\) が点\(A\)で接する」
ということが成り立ちます。証明は簡単ですが積の微分(数Ⅲ)の知識が必要なので別の機会にして、今回は例題で具体的な例で確かめてみます。

 

 

 

(例題)
関数 \(y=3x^2-5x\) について、次のものを求めよ。
(1) \(x=2\) から \(x=4\) まで変化するときの平均変化率
(2) \(x=2\) における微分係数
(3) \(x=2\) における接線の傾き

 

 

それぞれ定義に沿って求めます。

(解答)
\(f(x)=3x^2-5x\) とおく。

(1)
(平均変化率)
\(=\displaystyle\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\)
\(=\displaystyle\frac{28-2}{2}\)
\(=13\)

(2)
\(f'(2)\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\{3(2+h)^2-5(2+h)\}-2}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{3h^2+7h}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}(3h+7)\)
\(=7\)

(3)
\(x=2\)における接線の傾き\(m\)は、\(f'(2)\)だから(2)より

\(m=f'(2)\)\(=7\)

 

※接線を求めると、\((2,f(2))\) を通るから
\(y-f(2)=f'(2)(x-2)\)
\(y-2=7(x-2)\)
よって接線の方程式は
\(y=7x-12\)・・・(ア)

\(y=3x^2-5x\) と (ア)を連立して整理すると

\(x^2-4x+4=0\)
\((x-2)^2=0\)

となり、\(x=2\) が重解となっています。

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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