導関数の定義やその性質について見ていきます。
内容は数Ⅱのときと同じです。
・導関数の定義
関数\(f(x)\)がある区間のすべての\(x\)について微分可能なとき、\(f(x)\)はその区間で微分可能といいます。
\(f(x)\)がある区間で微分可能であるとき、その区間における\(x\)の値\(a\)に対して微分係数\(f'(a)\)を対応させると、新しい関数が得られます。この新しい関数を\(f(x)\)の導関数といい、\(f'(x)\)で表します。よって\(f'(a)\)の\(a\)を変数とみればよいので、\(f'(x)\)は、\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0 }\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) の \(a\) を \(x\) に変えることで求めることができます。
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0 }\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
ここで、\(x\)の増分を\(Δx\)、\(y\)の増分を\(Δy\)とすれば、
\(Δx=h\)、 \(Δy=f(x+Δx)-f(x)\)
となるので(もともと\(h\)は\(x\)の変化量であり、そもそも微分は\(\displaystyle\frac{yの変化量}{xの変化量}\) の極限をとったもの)、\(f'(x)\)を次のように表すこともできます。
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{Δx \to 0 }\displaystyle\frac{Δy}{Δx}=\displaystyle\lim_{Δx \to 0 }\displaystyle\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\)
また、\(y=f(x)\)の導関数\(f'(x)\)は次のような記号で表されることもあります。
\(\{f(x)\}’\)、\(y’\)、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)、\(\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\)
よって例えば \(\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\) は、\(f(x)\)を\(x\)で微分する、つまり\(f'(x)\)のことを表します。
・導関数の性質
導関数には次のような性質があるので、単純な計算をすることができます。
\(f(x),g(x)\)は微分可能であるとする。\(k,l\)を定数として
①定数倍：\(\{kf(x)\}’=kf'(x)\)
②和と差：\(\{f(x)±g(x)\}’=f'(x)±g'(x)\)
①②をまとめて
\(\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)\)
(解説)
微分の定義を考えると簡単に証明できます。
①
\(\{kf(x)\}’\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{kf(x+h)-kf(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}k\cdot\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=kf'(x)\)
②
\(\{f(x)+g(x)\}’\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\)
\(=f'(x)+g'(x)\)
\(\{f(x)-g(x)\}’\) についても同様。
なお、積と商については独自の公式があるので、これらは次回に扱います。
以上になります。お疲れさまでした
ここまで見て頂きありがとうございました。
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