合成関数の導関数について見ていきます。
・合成関数の微分
\(y=(x^2+5)^5\) の導関数は、展開することで求めることができますが、やや面倒です。
そこで役に立つのが合成関数の微分です。この関数は \(f(x)=x^5\)、\(g(x)=x^2+5\) とすると、\(y=f(g(x))\) (合成関数) と表すことができます。
一般に合成関数 \(y=f(g(x))\) について、\(u=g(x)\) とおくと
\(y=f(u)\) が \(u\)の関数として微分可能、\(u=g(x)\) が \(x\)の関数として微分可能であるとき、合成関数 \(y=f(g(x))\) も \(x\)の関数として微分可能であり、次の等式が成り立ちます。
\(\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)\)
つまり
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx}\)
(解説)
外側の関数を微分して、内側の関数の微分を掛けるということです。
証明は微分の定義を使います。
(証明)
\(\{f(g(x))\}’=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{f(g(x+Δx))-f(g(x))}{Δx}\)
(分母分子に \(g(x+Δx)-g(x)\) を掛けて)
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{f(g(x+Δx))-f(g(x))}{g(x+Δx)-g(x)}\cdot\displaystyle\frac{g(x+Δx)-g(x)}{Δx}\)・・・①
(積の左側も微分の定義の形になっている)
ここで、\(u=g(x)\)・・・② の増分について \(Δu=g(x+Δx)-g(x)\)・・・③ とおくと
②と\(g(x)\)の連続性により、\(Δx→0\) のとき \(Δu→0\)
また③と②より、\(g(x+Δx)=Δu+u\) となるから、①は
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{f(u+Δu)-f(u)}{Δu}\cdot\displaystyle\frac{g(x+Δx)-g(x)}{Δx}\)
\(=\displaystyle\lim_{\color{red}{Δu} \to 0}\displaystyle\frac{f(u+Δu)-f(u)}{Δu}\cdot\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{g(x+Δx)-g(x)}{Δx}\)
\(=f'(u)g'(x)\)・・・④
よって④と \(u=g(x)\) から
\(\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)\)
また、\(y=f(u)\) だから
\(f'(u)=\displaystyle\frac{dy}{du}\)
これと、\(g'(x)=\displaystyle\frac{du}{dx}\) より④は次のようにも書ける。
\(\{f(g(x))\}’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx}\)
また、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx}\) は、\(y\)を\(x\)で微分する際に、\(u\)で中継しても微分できるということも表しています。
したがって、\(y=(x^2+5)^5\) の導関数は
\(y=u^5\) (外側は5次関数)、\(u=x^2+5\) (中身は2次関数) となるので、
\(y’=5u^4\cdot2x=5(x^2+5)^4\cdot2x\)
です。慣れてきたら\(u\)の置き換えをせずに直接求めます。
(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=\{(x^3-2)(x^5+1)\}^4\)
(2)\(y=\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)^2}\)
(3)\(y=\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}^3\)
(解答)
(1)
(外側の関数は4次関数。中身は積の微分を利用)
\(y=\{(x^3-2)(x^5+1)\}^4\) より
\(y’=4\{(x^3-2)(x^5+1)\}^3×\{(x^3-2)(x^5+1)\}’\)
\(=4\{(x^3-2)(x^5+1)\}^3×\{3x^2(x^5+1)+(x^3-2)\cdot5x^4\}\)
\(=4\{(x^3-2)(x^5+1)\}^3\cdot(8x^7-10x^4+3x^2)\)
\(=4x^2\{(x^3-2)(x^5+1)\}^3\cdot(8x^5-10x^2+3)\)
(2)
(商の微分を利用。分子は積の微分、分母の微分をする際に合成関数の微分)
\(y=\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)^2}\) より
\(y’=\displaystyle\frac{\{1\cdot(x-2)+(x-1)\cdot1\}(x+1)^2-(x-1)(x-2)\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}\)
(\(x+1\)で約分して整理)
\(=\displaystyle\frac{(2x-3)(x+1)-2(x-1)(x-2)}{(x+1)^3}\)
\(=\displaystyle\frac{5x-7}{(x+1)^3}\)
(3)
(外側は3次関数、中身は商の微分)
\(y=\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}^3\)
\(y’=3\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}^2\cdot\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}’\)
\(=3\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}^2\cdot\displaystyle\frac{1\cdot(x^2-x+1)-(x+2)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\)
\(=3\left\{\displaystyle\frac{x+2}{x^2-x+1}\right\}^2\cdot\displaystyle\frac{-x^2-4x+3}{(x^2-x+1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{-3(x+2)^2(x^2+4x-3)}{(x^2-x+1)^4}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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