2変数の不等式の証明①(1変数にする)

2変数の不等式の証明問題です。
解法を最初にまとめておきます。

(2変数の不等式の証明方法)
1変数の不等式に帰着させる
(1)\(f(a)>f(b)\) のように同じ形の関数にする。あとは \(f(t)\) の増減を調べる。
(2)同次型(次数が同じ)ならば、\(\displaystyle\frac{b}{a}=t\) とおく。
1文字を固定する。
→1文字を定数とみれば、1変数の不等式になる。
平均値の定理を利用する。
(他にも適宜 数ⅠAⅡB の知を利用する)

今回は練習のために①の方法で例題を解いていきますが、②の方法でも解くことができます。

 

(例題1)
\(0<y<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(\sin x-\sin y<\tan x-\tan y\)

 

移項して \(x,y\) でそれぞれまとめると
\(\sin x-\tan x<\sin y-\tan y\)
両辺同じ形になっているので \(f(t)=\sin t-\tan t\) とおくと
\(f(x)<f(y)\) が証明したい不等式です。\(x>y\) なので \(f(t)\) が単調減少関数であることが示せれば完了です。

(解答)
\(\sin x-\sin y<\tan x-\tan y\)
\(⇔\)
\(\sin x-\tan x<\sin y-\tan y\)・・・①

\(f(t)=\sin t-\tan t\) とおくと①は
\(f(x)<f(y)\)

よって \(0<y<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) より
\(f(t)\) が \(0<t<\displaystyle\frac{π}{2}\) において単調減少であることを示せばよい。

\(f'(t)=\cos t-\displaystyle\frac{1}{\cos^2t}=\displaystyle\frac{\cos^3t-1}{\cos^2t}\)

\(0<t<\displaystyle\frac{π}{2}\) において \(0<\cos t<1\) だから
\(f'(t)<0\)
つまり、\(f(t)\)はこの範囲で単調減少

よって証明された。

 

 

 

(例題2)
\(a≧b>0\) とする。自然数\(n\)に対して、次の不等式を証明せよ。
\(a^n-b^n≦\displaystyle\frac{n}{2}(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1})\)

 

\(a,b\)をまとめた次数に着目すると、左辺は\(n\)次式、右辺も\(n\)次式になっているので、このタイプ(同次型)の問題は \(a^n\) (\(b^n\)) で割るとうまくいくことが多いです。

(解答)
\(a^n-b^n≦\displaystyle\frac{n}{2}(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1})\)・・・①
\(a≧b>0\)・・・②

①の両辺を正の数\(b^n\)で割ると
\((\displaystyle\frac{a}{b})^n-1≦\displaystyle\frac{n}{2}(\displaystyle\frac{a}{b}-1)\{(\displaystyle\frac{a}{b})^{n-1}+1\}\)

\(\displaystyle\frac{a}{b}=t\) とおくと
\(t^{n}-1≦\displaystyle\frac{n}{2}(t-1)(t^{n-1}+1)\)・・・③

また②より \(\displaystyle\frac{a}{b}≧1\) だから
\(t≧1\) において③が成り立つことを示せばよい。

1変数の不等式にできたので、あとは差をとって微分するだけです。
微分すると分かりますが、最終的に2回微分まですると \((n-1)(n-2)\) という係数がでてきます。よって \(n=1,2\) は別途考えたいと思います。

\(t^{n}-1≦\displaystyle\frac{n}{2}(t-1)(t^{n-1}+1)\)・・・③

(i)\(n=1\) のとき
(左辺)\(=t-1\)
(右辺)\(=\displaystyle\frac{1}{2}(t-1)(1+1)=t-1\)

よって③は成り立つ。(常に等号成立)

(ii)\(n=2\) のとき
(左辺)\(=t^2-1\)
(右辺)\(=\displaystyle\frac{2}{2}(t-1)(t+1)=t^2-1\)

よって③は成り立つ。(常に等号成立)

(iii)\(n≧3\) のとき
\(f(t)=\displaystyle\frac{n}{2}(t-1)(t^{n-1}+1)-(t^n-1)\) (\(t≧1\)) とおく。
整理すると
\(f(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\{(n-2)t^{n}-nt^{n-1}+nt-n+2\}\)

\(f'(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\{n(n-2)t^{n-1}-n(n-1)t^{n-2}+n\}\)

\(f”(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\{n(n-1)(n-2)t^{n-2}-n(n-1)(n-2)t^{n-3}\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)(n-2)t^{n-3}(t-1)>0\)  (\(t>1\) のとき)

よって \(f'(t)\) は \(t≧1\) で単調増加だから、\(f'(t)\) の最小値は
\(f'(1)=\displaystyle\frac{1}{2}\{n(n-2)-n(n-1)+n\}=0\)
となるから、\(f'(t)>0\) (\(t>1\) のとき)

ゆえに \(f(t)\) も \(t≧1\) で単調増加だから、\(f(t)\) の最小値は
\(f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}\{(n-2)-n+n-n+2\}=0\)
となり、\(f(t)≧0\)

したがって、不等式③は成り立つ。
等号は \(t=1\) のとき成立するから、\(\displaystyle\frac{a}{b}=1\)
つまり、\(a=b\) のとき成立する。

以上より不等式③は任意の自然数で成立する。
等号成立は
\(n=1,2\) のときは、常に成立
\(n≧3\) のときは、 \(a=b\) のとき

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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