コーシー・シュワルツの不等式

 

 

・コーシー・シュワルツの不等式(和の形)

実数\(a_1~a_{n},b_1~b_{n}\)について

\((a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)\)

\(≧(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})^2\)

等号成立は
\(a_1k-b_1=a_2k-b_2=・・・=a_{n}k-b_{n}=0\) となる実数\(k\)が存在するときである。
(比で表すと、\(a_{i}≠0\) (\(i=1,2,・・・n\))のとき
\(\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\displaystyle\frac{b_2}{a_2}=・・・=\displaystyle\frac{b_{n}}{a_{n}}(=k)\),  \(a_{i}=0\)のとき\(b_{i}=0\)である)

 

(証明)
\(f(k)=(a_1k-b_1)^2+(a_2k-b_2)^2+・・・+(a_{n}k-b_{k})^2\)・・・① とおく。
\(f(k)\)は\(k\)の2次関数で、\(f(k)≧0\)より、判別式\(D≦0\)となるので、

\(\displaystyle\frac{D}{4}\)
\(=\{-(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})\}^2\)
\(-(a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)≦0\)

よって

\((a_1^2+a_2^2+・・・+a_{n}^2)(b_1^2+b_2^2+・・・+b_{n}^2)\)

\(≧(a_1b_1+a_2b_2+・・・+a_{n}b_{n})^2\)
が得られる。

 

等号成立は、\(D=0\)のときなので\(f(k)=0\)となる\(k\)が存在するときであり、①よりすべての項が\(0\)となることから、
\(a_1k-b_1=a_2k-b_2=・・・=a_{n}k-b_{n}=0\) となる実数\(k\)が存在するときである。

また、\(a_1~a_{n}\)の全てが\(0\)でないときは\(k\)を消去することにより、

\(\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\displaystyle\frac{b_2}{a_2}=・・・=\displaystyle\frac{b_{n}}{a_{n}}(=k)\) が得られる。また、\(a_{i}=0\) (\(i=1,2,・・・n\))のときは\(b_{i}=0\)である。

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