ド・モアブルの定理と三角関数の等式の証明

ド・モアブルの定理を利用する、三角関数の等式の証明問題です。

(例題)
次の等式を証明せよ。ただし、\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}≠0\) とし、\(n\)は自然数とする。

(1)\(1+\cosθ+\cos2θ+\cdots+\cos nθ=\displaystyle\frac{\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(2)\(\sinθ+\sin2θ+\cdots+\sin nθ=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(解答)ド・モアブルの定理を利用
(1)(2)
\(z=\cosθ+i\sinθ\) とおくと、\(k\)を自然数として
\(z^k=\cos kθ+i\sin kθ\)

\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}≠0\) より、\(θ≠2mπ\) (\(m\)は整数) だから、\(z≠1\)
よって、等比数列の和より・・・(注)
\(1+z+z^2+\cdots+z^{n}=\displaystyle\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)・・・①
①の右辺は
\(\displaystyle\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\displaystyle\frac{1-\{\cos(n+1)θ+i\sin(n+1)θ\}}{1-(\cos θ+i\sin θ)}\)

(目的の式に近づけるために半角の公式を利用)

\(=\displaystyle\frac{2\sin^2\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}-2i\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\cos\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{2\sin^2\displaystyle\frac{θ}{2}-2i\sin\displaystyle\frac{θ}{2}\cos\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(極形式を目指す)

\(=\displaystyle\frac{-i\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\left(\cos\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}+i\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\right)}{-i\sin\displaystyle\frac{θ}{2}(\cos\displaystyle\frac{θ}{2}+i\sin\displaystyle\frac{θ}{2})}\)

(複素数の商)

\(=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\left(\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}+i\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\right)}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(1)の等式の左辺は①の左辺の実部だから、①の両辺の実部を比較して
\(1+\cosθ+\cos2θ+\cdots+\cos nθ=\displaystyle\frac{\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(2)の等式の左辺は①の左辺の虚部だから、①の両辺の虚部を比較して
\(\sinθ+\sin2θ+\cdots+\sin nθ=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(注)
複素数でも等比数列の和の公式は使えます。それは、公比を\(α\)とすると和\(S\)の公式は
\(S-αS\) から求めているので、これは実数でなくてもよいからです。もちろん、\(α≠1\) かどうかには注意します。

(別解)

(1)
\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}(1+\cosθ+\cos2θ+\cdots+\cos nθ)\)

\(=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos kθ\cdot\sin\displaystyle\frac{θ}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left\{\sin(k+\displaystyle\frac{1}{2})θ-\sin(k-\displaystyle\frac{1}{2})θ\right\}\)

(和の中間部分は打ち消されて)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})θ-\sin(-\displaystyle\frac{1}{2}θ)\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})θ+\sin\displaystyle\frac{1}{2}θ\right\}\)

(和積より)

\(=\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}\)

したがって
\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}(1+\cosθ+\cos2θ+\cdots+\cos nθ)=\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}\)
が成り立つので
\(1+\cosθ+\cos2θ+\cdots+\cos nθ=\displaystyle\frac{\cos\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

(2)
(1)と同様に
\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}(\sinθ+\sin2θ+\cdots+\sin nθ)\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin kθ\cdot\sin\displaystyle\frac{θ}{2}\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\cos(k+\displaystyle\frac{1}{2})θ-\cos(k-\displaystyle\frac{1}{2})θ\right\}\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})θ-\cos\displaystyle\frac{1}{2}θ\right\}\)

\(=\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\)

よって
\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2}(\sinθ+\sin2θ+\cdots+\sin nθ)=\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\)

\(\sinθ+\sin2θ+\cdots+\sin nθ=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{nθ}{2}\sin\displaystyle\frac{(n+1)θ}{2}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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