複素数の加法・減法・乗法・除法について学んでいきます。
・複素数の四則計算
複素数\(a+bi\)の計算は、\(i\)を文字のように扱うことで計算します(\(a+bx\)の計算と同じように計算する)。ただし\(i^2=-1\)です。
除法については、分母に\(i\)が含まれる場合には、無理数の分母の有理化のように、分母の実数化を行います。
②減法 \((a+bi)-(c+di)\)\(=(a-c)\)\(+(b-d)i\)
③乗法 \((a+bi)(c+di)\)\(=ac+adi\)\(+bci+bdi^2\)
\(=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
④除法 \(\displaystyle\frac{a+bi}{c+di}\)\(=\displaystyle\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)\(=\displaystyle\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)
\(=\displaystyle\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\displaystyle\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)
上の一般例は覚えてなくてよいです。問題文で個別に与えられた式を計算してください。
なお、除法で分母の実数化を行ったとき、\(c+di\)に対して分母分子に\(c-di\)を掛けましたが、\(c+di\)に対して\(c-di\)を共役な複素数とよびます(実部は同じで虚部の符号が反対)。共役な複素数どうしの和と積は実数になることは覚えてください。
和：\((c+di)+(c-di)=2c\)\(=\)(実数)
積：\((c+di)(c-di)=c^2+d^2\)\(=\)(実数)
(例題1)次の計算をせよ。
(1)\((-3+2i)+(5-7i)\)
(2)\(2(1-i)-3(4+5i)\)
(3)\((2+3i)(1-5i)\)
(4)\(\displaystyle\frac{3+2i}{6-2i}+\displaystyle\frac{3-4i}{2+6i}\)
②\(i^2=-1\)
③分母に\(i\)を含むとき、分母を実数化(共役な複素数をかける)
です。
(1)
\((-3+2i)+(5-7i)\)\(=(-3+5)+(2-7)i\)\(=\)\(2-5i\)
(2)
\(2(1-i)-3(4+5i)\)\(=2-2i-(12+15i)\)\(=\)\(-10-17i\)
(3)
\((2+3i)(1-5i)\)\(=2-10i+3i-15i^2\)\(=2+15-7i\)\(=\)\(17-7i\)
(4)
\(\displaystyle\frac{3+2i}{6-2i}+\displaystyle\frac{3-4i}{2+6i}\)
\(=\displaystyle\frac{3+2i}{2(3-i)}+\displaystyle\frac{3-4i}{2(1+3i)}\)
\(=\displaystyle\frac{(3+2i)(3+i)}{2(3-i)(3+i)}+\displaystyle\frac{(3-4i)(1-3i)}{2(1+3i)(1-3i)}\)
\(=\displaystyle\frac{9+9i+2i^2}{2・10}+\displaystyle\frac{3-13i+12i^2}{2・10}\)
\(=\displaystyle\frac{7+9i}{20}+\displaystyle\frac{-9-13i}{20}\)
\(=\displaystyle\frac{-2-4i}{20}\)
\(=\)\(-\displaystyle\frac{1}{10}-\displaystyle\frac{1}{5}i\)
・「\(αβ=0\) \(\leftrightarrow\) \(α=0\) または \(β=0\)」について
実数と同様に、次のことが成り立ちます。
(証明)
\(→\)について
\(α≠0\) のとき、\(αβ=0\)の両辺を\(α\)で割って、\(β=0\)
\(β≠0\) のとき、\(αβ=0\)の両辺を\(β\)で割って、\(α=0\)
よって、\(αβ=0\) \(→\) \(α=0\) または \(β=0\) は成り立つ。
\(←\)は明らかに成り立つ。
・負の数の平方根
複素数まで数を拡張したことにより、負の数の平方根を求めることができます。
負の数\(-3\)の平方根は、\(x^2=-3\) の解で、\((\sqrt{3}i)^2=-3\) なので
\(x^2=(\sqrt{3}i)^2\) つまり \(x^2-(\sqrt{3}i)^2=0\)
因数分解して
\((x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)=0\)
よって\(x^2=-3\) の解は \(x=-\sqrt{3}i\) と \(x=\sqrt{3}i\)
この2解が\(-3\)の平方根となります。
一般に\(a>0\)とするとき、同様に考えることで負の数\(-a\)の平方根は
\(\sqrt{a}i\) と \(-\sqrt{a}i\) となります。
そこで、\(a>0\)のとき、\(\sqrt{-a}\) (負の数の平方根) を次のように定めます。
\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) 特に\(a=1\)のとき \(\sqrt{-1}=i\)
①負の数\(-a\)の平方根は\(\sqrt{a}i\) と \(-\sqrt{a}i\)
②\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) 特に\(\sqrt{-1}=i\)
(例題2)次の2つの計算を行い、結果を比較せよ。
(1)\(\sqrt{-3}\sqrt{-12}\), \(\sqrt{(-3)・(-12)}\)
(2)\(\sqrt{3}\sqrt{-12}\), \(\sqrt{3・(-12)}\)
(3)\(\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{-28}}\), \(\sqrt{\displaystyle\frac{7}{-28}}\)
(解答)
(1)
\(\sqrt{-3}\sqrt{-12}\)\(=\sqrt{3}i×\sqrt{12}i\)\(=-6\)
\(\sqrt{(-3)・(-12)}\) \(=\sqrt{36}\)\(=6\)
よって、\(\sqrt{-3}\sqrt{-12}\)\(≠\sqrt{(-3)・(-12)}\)
(2)
\(\sqrt{3}\sqrt{-12}\)\(=\sqrt{3}×\sqrt{12}i\)\(=6i\)
\(\sqrt{3・(-12)}\)\(=\sqrt{-36}\)\(=\sqrt{36}i\)\(=6i\)
よって、\(\sqrt{3}\sqrt{-12}\)\(=\sqrt{3・(-12)}\)
(3)
\(\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{-28}}\)\(=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}i}\)\(=\displaystyle\frac{1}{2i}\)\(=\displaystyle\frac{1・i}{2i・i}\)\(=-\displaystyle\frac{1}{2}i\)
\(\sqrt{\displaystyle\frac{7}{-28}}\)\(=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}・(-1)}\)\(=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}}i\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}i\)
よって、
\(\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{-28}}\)\(≠\sqrt{\displaystyle\frac{7}{-28}}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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