2乗して虚数になる数に関する問題について見ていきます。
(例題)
2乗して\(8i\)となる数を求めよ。
(解答)
求める数(複素数)を\(x+yi\) (\(x,y\)は実数)とおいて、条件より式を立てます。2乗して\(8i\)になるので、\((x+yi)^2=8i\)です。あとは\(x,y\)を求めればよいのですが、\(x,y\)は実数であることに注意です。
求める数を\(x+yi\) (\(x,y\)は実数) とする。
条件より
\((x+yi)^2=8i\) だから
\((x^2-y^2)+2xyi=8i\)
\(x^2-y^2\), \(2xy\) は実数なので
\(x^2-y^2=0\)・・・①
\(2xy=8\)・・・②
①②を満たす\(x,y\)を求めます(連立方程式)。
①の左辺が因数分解できることに着目します。
①の左辺が因数分解できることに着目します。
①より \((x+y)(x-y)=0\)
よって、\(x=-y\) または \(x=y\)
ここで、②より\(xy>0\) だから\(x,y\)は同符号。
よって、\(x=-y\)は不適。
\(x=y\)を②に代入して
\(2x^2=8\) \(x=±2\)
このとき、\(x=y\)より \(y=±2\)
以上から、\(x=2,y=2\) または \(x=-2,y=-2\) だから
求める数は \(2+2i\) と \(-2-2i\)
答えが2つ出てきました。
2乗して\(8i\)になる数なので、\(8i\)の平方根ということになります。
\(0\)以外の実数と同じように、平方根は2つ出てきます。
また、\(x+iy=z\) とおくと本問は、\(z^2=8i\) なので\(z\)の2次方程式です。
2次方程式の解は複素数を含めて、重解を除けば2つある(次回以降参照)ことからも、答えが2つあることに納得がいきます。
2乗して\(8i\)になる数なので、\(8i\)の平方根ということになります。
\(0\)以外の実数と同じように、平方根は2つ出てきます。
また、\(x+iy=z\) とおくと本問は、\(z^2=8i\) なので\(z\)の2次方程式です。
2次方程式の解は複素数を含めて、重解を除けば2つある(次回以降参照)ことからも、答えが2つあることに納得がいきます。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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