2次方程式の解と係数の関係と対称式①

2次方程式の2解と、方程式の係数にはどんな関係があるでしょうか。

・解と係数の関係
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)について、その2解を\(α,β\)とします。
\(ax^2+bx+c=0\) の両辺を\(a\)で割ると
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}+\displaystyle\frac{c}{a}=0\)・・・①

また、2解が\(α,β\)の2次方程式で\(x^2\)の係数が\(1\)のものは
\((x-α)(x-β)=0\)・・・②

①の左辺を因数分解すると②の左辺になり、②の左辺を展開すると①の左辺となるので
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}+\displaystyle\frac{c}{a}=(x-α)(x-β)\)

\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}+\displaystyle\frac{c}{a}\)\(=x^2-(α+β)x+αβ\)

これが\(x\)の恒等式となるので係数を比較すると

\(α+β=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(αβ=\displaystyle\frac{c}{a}\)

これが2解と、2次方程式の係数の関係となります。

(例題)
方程式 \(3x^2-2x-4=0\) の2解を\(α,β\)とするとき、次の式の値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\frac{1}{α}+\displaystyle\frac{1}{β}\)　(2)\(\displaystyle\frac{β}{α}+\displaystyle\frac{α}{β}\)
(3)\((α-β)^2\)　(4)\(α^3+β^3\)

(解答)
解と係数の関係から
\(α+β=-\displaystyle\frac{(-2)}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}\),　\(αβ=-\displaystyle\frac{4}{3}\)

(1)
\(\displaystyle\frac{1}{α}+\displaystyle\frac{1}{β}\)\(=\displaystyle\frac{α+β}{αβ}\)\(=\displaystyle\frac{2}{3}÷(-\displaystyle\frac{4}{3})\)\(=\)\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)

(2)
\(\displaystyle\frac{β}{α}+\displaystyle\frac{α}{β}\)\(=\displaystyle\frac{α^2+β^2}{αβ}\)

ここで、\(α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ\)\(=\displaystyle\frac{4}{9}+\displaystyle\frac{8}{3}\)\(=\displaystyle\frac{28}{9}\)

よって
\(\displaystyle\frac{β}{α}+\displaystyle\frac{α}{β}\)\(=\displaystyle\frac{28}{9}÷(-\displaystyle\frac{4}{3})\)\(=\)\(-\displaystyle\frac{7}{3}\)

(3)
\((α-β)^2\)\(=α^2+β^2-2αβ\)\(=\displaystyle\frac{28}{9}+\displaystyle\frac{8}{3}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{52}{9}\)

(4)
\(α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)\)
\(=(\displaystyle\frac{2}{3})^3-3・(-\displaystyle\frac{4}{3})・\displaystyle\frac{2}{3}\)\(=\displaystyle\frac{8}{27}+\displaystyle\frac{8}{3}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{80}{27}\)

対称式について自信のない方は、→対称式と基本対称式① (数ⅠA)を参照してください。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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