2変数関数の対称式に関する問題について見ていきます。
(例題)
方程式 \(3x^2+2xy+3y^2=8\) を満たす実数\(x,y\)に対して、
\(k=x+y+xy\) がとる値の範囲を求めよ。
\(x+y=u\),\(xy=v\) とおいてみます。
\(x+y=u\), \(xy=v\)とおく。
\(3x^2+2xy+3y^2=8\)より
\(3(x+y)^2-4xy=8\)
\(3u^2-4v=8\)・・・①
\(k=x+y+xy\)\(=u+v\) であり
①より \(v=\displaystyle\frac{3}{4}u^2-2\)だから
\(k\)\(=\displaystyle\frac{3}{4}u^2+u-2\)・・・②
②は2次関数なので最大最小値は簡単に求まりそうですが、果たして\(u\)はすべての実数をとりうるでしょうか。
例えば、\(u=x+y=4\), \(v=xy=10\)とした場合 (①を満たす)
\(u,v\)は実数ですが、\(x,y\)は\(t^2-4t+10=0\) を解くと、\(t=2±\sqrt{6}i\) であり実数ではありません。
このように\(u,v\)が実数であっても\(x,y\)が実数であるとは限らないので、\(x,y\)が実数である条件を求めておく必要があります。
\(x,y\)が実数である条件は、方程式 \(t^2-ut+v=0\) が実数解を持てばよいので、\(u^2-4v≧0\) です。和と積の置き換えをした場合はこれを忘れないように。
ここで、\(x+y=u\), \(xy=v\)より、\(x,y\)を2解とする2次方程式は
\(t^2-ut+v=0\) であり、\(x,y\)が実数であることから
\(u^2-4v≧0\)・・・③
③に① \(-4v=8-3u^2\) を代入して
\(-2u^2+8≧0\)
\(u^2-4≦0\) より \(-2≦u≦2\)・・・④
④のもとで\(k\)のとる範囲を考えると
\(k=\displaystyle\frac{3}{4}u^2+u-2\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}(u+\displaystyle\frac{2}{3})^2-\displaystyle\frac{7}{3}\) \((-2≦u≦2)\)
したがって、\(k\)の最小値は \(u=-\displaystyle\frac{2}{3}\)のとき \(k=-\displaystyle\frac{7}{3}\)
最大値は \(u=2\) のとき \(k=3\)
ゆえに
\(-\displaystyle\frac{7}{3}≦k≦3\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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