2解\(α,β\)をもつ2次方程式の作成に関して学んでいきます。
・2次方程式の作成
2数\(α,β\)を2つの解とする2次方程式は\(a≠0\)とすれば次のようになります。
\(a(x-α)(x-β)=0\)
\(a\)の値によって2次方程式はいくつも存在するので、\(α,β\)を解に持つ2次方程式は無数に存在することになります。とくに\(a=1\)、つまり\(x^2\)の係数を\(1\)とすると
\(x^2-(α+β)x+αβ=0\)
であり、\(α+β=p\), \(αβ=q\) とおくと
\(x^2-px+q=0\)
つまり、和が\(p\),積が\(q\)の2つの数を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-px+q=0\) ということになります。
\(α,β\)を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-px+q=0\)
(例題)
(1)\(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\), \(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\) を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。
(2)和が\(2\),積が\(2\)である2つの数を求めよ。
(解答)
(1)
和：\(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}+\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\)\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
積：\(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}・\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\)\(=\displaystyle\frac{4}{16}\)\(=\displaystyle\frac{1}{4}\)
よって求める2次方程式の1つは
\(x^2+\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{4}=0\)
両辺を\(4\)倍すると
\(4x^2+2x+1=0\)
(2)
\(x^2-2x+2=0\)の解です。
和が\(2\)、積が\(2\)である2数は
\(x^2-2x+2=0\)の解なので、これを解くと
\(x=1±i\)
よって、2数は \(1+i\), \(1-i\)
条件は\(α+β=2\)・・・①, \(αβ=2\)・・・②
となるので、①より\(β=2-α\)を②に代入して整理すると、
\(α^2-2α+2=0\)
となります。結局同じ2次方程式を解くことになります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。