引き続き2次方程式の作成に関する問題について見ていきます。
(例題)
2次方程式 \(x^2+5x+3=0\) の2つの解を\(α,β\)とする。
(1)\(α^2+4α+β\), \(β^2+4β+α\) を2つの解とする2次方程式で、\(x^2\)の係数が\(1\)となるものを求めよ。
(2)初めの2次方程式 \(x^2+5x+3=0\) の2つの解が \(α^2+pα+q\), \(β^2+pβ+q\) と表されるとき、定数\(p,q\)の値を求めよ。
また、\(α,β\)は\(x^2+5x+3=0\)の解なので、\(x\)に代入したときに方程式が成り立ちます。
(解答)
(1)
解と係数の関係から
\(α+β=-5\), \(αβ=3\)
また、\(α,β\)は\(x^2+5x+3=0\)の解なので
\(α^2+5α+3=0\), \(β^2+5β+3=0\) より
\(α^2=-5α-3\), \(β^2=-5β-3\)
よって、
\(α^2+4α+β=-α+β-3\)
\(β^2+4β+α=α-β-3\) だから
和：\((α^2+4α+β)+(β^2+4β+α)\)\(=-6\)
積：\((α^2+4α+β)(β^2+4β+α)\)
\(=-(α-β+3)(α-β-3)\)
\(=-\{(α-β)^2-9\}\)
\(=-(α^2+β^2)+2αβ+9\)・・・(A)
ここで、\(α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=25-6=19\) より
(A)\(=-19+6+9=-4\)
よって求める2次方程式は
\(x^2+6x-4=0\)
(2)
(ア)①が\(α\)②が\(β\)、(イ)①が\(β\)②が\(α\) の2通りの場合が考えられるので場合分けします。
(1)より \(α^2=-5α-3\), \(β^2=-5β-3\) だから
\(α^2+pα+q=-5α-3+pα+q\)\(=(p-5)α+q-3\)・・・①
\(β^2+pβ+q=-5β-3+pβ+q\)\(=(p-5)β+q-3\)・・・②
①②の一方が\(α\),もう一方が\(β\)なので
(ア)
\((p-5)α+q-3=α\)・・・③
\((p-5)β+q-3=β\)・・・④ のとき
③－④で\(q\)を消去すると
\((p-5)(α-β)=α-β\)・・・⑤
ここで、\(x^2+5x+3=0\) の解は、\(x=\displaystyle\frac{-5±\sqrt{13}}{2}\) であり、\(α≠β\)
よって⑤の両辺を\(α-β\)で割ると
\(p-5=1\) ゆえに \(p=6\)
③に代入して
\(α+q-3=α\) ゆえに \(q=3\)
(イ)
\((p-5)α+q-3=β\)・・・⑥
\((p-5)β+q-3=α\)・・・⑦ のときも同様に
⑥－⑦より
\((p-5)(α-β)=β-α\)
\(α≠β\) だから
\(p-5=-1\) よって\(p=4\)
⑥に代入して \(-α+q-3=β\)
ゆえに、\(q\)\(=3+(α+β)=3-5=\)\(-2\)
以上から
\(p=6\) , \(q=3\) または \(p=4\) , \(q=-2\)
\(\{(p-5)α+q-3\}+\{(p-5)β+q-3\}=-5\)
\(\{(p-5)α+q-3\}\{(p-5)β+q-3\}=3\)
から\(p,q\)を求めることもできますがやや計算が大変です。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。