2解の条件と2次方程式

2次方程式の2解の条件から、方程式の係数を決定する問題について見ていきます。

(例題1)
(1)2次方程式 \(x^2+2mx+15=0\) の2つの解の差が\(2\)であるとき、定数\(m\)の値と方程式の解を求めよ。
(2)方程式 \(x^2-2x+k=0\) の1つの解が他の解の平方であるとき、定数\(k\)の値と方程式の解を求めよ。
(3)方程式 \(6x^2-kx+k-4=0\) の2つの解の比が \(3:2\)であるとき、定数\(k\)の値を求めよ。

(解答)
(1)

2解の差が\(2\)であるから、2解を\(α,α+2\)と表せる。

解と係数の関係から
\(α+(α+2)=-2m\)・・・①
\(α(α+2)=15\)・・・②

②から\(α^2+2α-15=0\)　\((α+5)(α-3)=0\) より
\(α=-5,3\)

\(α=-5\) のとき ①より \(m=4\)で、このときもう一方の解は　\(α+2=-3\)
\(α=3\) のとき ①より \(m=-4\)で、もう一方の解は　\(α+2=5\)

以上から
\(m=4\) のとき 解 \(x=-5,-3\),　\(m=-4\)のとき 解 \(x=3,5\)

(2)

2解は \(α,α^2\) と表せる。

解と係数の関係から
\(α+α^2=2\)・・・③
\(α・α^2=k\)・・・④

③から　\(α^2+α-2=0\) \((α+2)(α-1)=0\) より
\(α=-2,1\)

④より \(α=-2\) のとき \(k=-8\)で、このときもう一方の解は \(α^2=4\)
\(α=1\)のとき \(k=1\)で、もう一方の解は\(α^2=1\)

答え \(k=-8\) のとき 解 \(x=-2,4\)　,\(k=1\)のとき 解 \(x=1\)

(3)

条件より2解は \(3a,2a\) (\(a≠0\))とおける。

解と係数の関係から
\(3a+2a=\displaystyle\frac{k}{6}\)・・・⑤
\(3a・2a=\displaystyle\frac{k-4}{6}\)・・・⑥

⑤より \(k=30a\)・・・⑦　⑥に代入して
\(6a^2=\displaystyle\frac{30a-4}{6}\)
整理すると
\(18a^2-15a+2=0\)
\((6a-1)(3a-2)=0\)
\(a=\displaystyle\frac{1}{6},\displaystyle\frac{2}{3}\)

⑦より\(k=5,20\)

(例題2)
\(a<b\)とする。2次方程式 \(x^2+2ax+b=0\)・・・① の2つの解の差が\(2\)で、2次方程式 \(x^2+2bx+a=0\)・・・② の2つの解の差も\(2\)である。このとき\(a,b\)の値を求めよ。

(解答)
①の2解を\(α,α+2\), ②の2解を\(β,β+2\)とおく。

解と係数の関係から
\(α+α+2=-2a\)・・・③
\(α(α+2)=b\)・・・・④
\(β+β+2=-2b\)・・・⑤
\(β(β+2)=a\)・・・⑥

③より \(α=-a-1\)
⑤より \(β=-b-1\)
それぞれ④⑥に代入して整理すると

\(a^2-b-1=0\)・・・⑦
\(b^2-a-1=0\)・・・⑧

⑦－⑧より
\((a-b)(a+b)+(a-b)=0\)
\((a-b)(a+b+1)=0\)
\(a<b\)より、\(a-b≠0\) だから
\(a+b+1=0\)

\(b=-a-1\)・・・⑨ を⑦に代入すると
\(a^2+a=0\)　\(a(a+1)=0\) より \(a=0,-1\)

\(a=0\)のとき、⑨より \(b=-1\) となり \(a<b\)を満たさないため不適。
\(a=-1\)のとき ⑨より \(b=0\)となり、\(a<b\)を満たす。

以上から
\(a=-1\), \(b=0\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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