3乗すると\(1\)になる数(\(1\)の3乗根)の性質について見ていきます。
・\(1\)の3乗根の性質
3乗すると\(1\)になる数を\(1\)の3乗根といい、\(1\)の3乗根は
\(x^3=1\)・・・①
の解です。この方程式より
\(x^3-1=0\)
\((x-1)(x^2+x+1)=0\)・・・②
となるので、\(1\)の3乗根は
\(x=1,\displaystyle\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}\)
の\(1\)という実数1つと、互いに共役な複素数(虚数)の合計3つとなります。
ここで、虚数解の1つを\(ω\) (オメガ) とおくと
\(ω=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) のとき
\(ω^2=(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^2\)
\(=\displaystyle\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\)
\(=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)
となるので、もう一方の虚数解は\(ω^2\) と表すことができます。
\(ω=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\) のときも
\(ω^2=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)
ともう一方の虚数解を\(ω^2\)と表すことができるので
\(1\)の3乗根は\(1,ω,ω^2\) となります。(\(ω\)をどちらにしてもよい)
また、\(ω,ω^2\)は互いに共役な複素数なので \(\overline ω=ω^2\)
そして\(ω\)は②より \(x^2+x+1=0\) の解で、①より\(x^3=1\) の解でもあるので
\(ω^2+ω+1=0\), \(ω^3=1\)
が成り立ちます。
(1)\(1\)の3乗根は \(1,ω,ω^2\) の合計3つである。
(2)\(ω^2+ω+1=0\), \(ω^3=1\)
(3)\(\overline ω=ω^2\)
同様に\(a\)の3乗根について考えてみます。
\(a\)が\(0\)でない実数のとき、\(x^3=a\)・・・③を満たす\(x\)の1つ(実数)を\(\sqrt[3]{a}\) と表すと、
\(a=(\sqrt[3]{a})^3\) だから
③は \(x^3=(\sqrt[3]{a})^3\)
\(x^3-(\sqrt[3]{a})^3=0\) より
\((x-\sqrt[3]{a})\{x^2+(\sqrt[3]{a})x+(\sqrt[3]{a})^2\}\)\(=0\)
\(x^2+(\sqrt[3]{a})x+(\sqrt[3]{a})^2=0\) の判別式は
\(D=(\sqrt[3]{a})^2-4(\sqrt[3]{a})^2\)
\(=-3(\sqrt[3]{a})^2\)\(<0\) より
③の残りの2つの解は虚数となります。
つまり\(a\)の3乗根は、実数1つと虚数2つ(互いに共役な複素数)の計3つです。
(例題1)
方程式 \(x^2+x+1=0\) の解の1つを \(ω\) とするとき次の式の値を求めよ。
(1)\(1+\displaystyle\frac{1}{ω}+\displaystyle\frac{1}{ω^2}\)
(2)\(2ω^{300}+ω^{200}+ω^{100}+1\)
(3)\((ω^{200}+1)^{100}+(ω^{100}+1)^{10}+2\)
(4)\(1+ω+ω^2+・・・+ω^{30}\)
なお解答では①より②が成り立つことも示しておきます。
(解答)
\(ω^2+ω+1=0\)・・・① の両辺に\(ω-1\)をかけて
\(ω^3-1=0\)
よって \(ω^3=1\)・・・②
(1)
\(1+\displaystyle\frac{1}{ω}+\displaystyle\frac{1}{ω^2}\)
\(=\displaystyle\frac{ω^2+ω+1}{ω^2}\)
\(=\)\(0\)
※②の両辺を\(ω,ω^2\)で割ると
\(ω^2=\displaystyle\frac{1}{ω}\), \(ω=\displaystyle\frac{1}{ω^2}\)
であるから、
(与式)\(=1+ω^2+ω=0\) としてもよいです。
(2)
指数部分の\(300,200,100\)を\(3\)で割って、割り切れなかった部分を外に出します。
\(2ω^{300}+ω^{200}+ω^{100}+1\)
\(=2(ω^3)^{100}+(ω^3)^{66}・ω^2\)\(+(ω^3)^{33}・ω+1\)
\(=2+ω^2+ω+1\)
\(=\)\(2\)
(3)
\((ω^{200}+1)^{100}+(ω^{100}+1)^{10}+2\)
\(=\{(ω^3)^{66}・ω^2+1\}^{100}+\{(ω^{3})^{33}・ω+1\}^{10}\)\(+2\)
\(=(ω^2+1)^{100}+(ω+1)^{10}+2\)
ここで \(ω^2+ω+1=0\) より
\(ω^2+1=-ω\), \(ω+1=-ω^2\) となるので
\((ω^2+1)^{100}+(ω+1)^{10}+2\)
\(=(-ω)^{100}+(-ω^2)^{10}+2\)
\(=ω^{100}+ω^{20}+2\)
\(=(ω^3)^{33}・ω+(ω^3)^{6}・ω^2+2\)
\(=ω+ω^2+2\)
\(ω^2+ω+1=0\) より \(ω^2+ω=-1\) となるので
(与式)
\(=ω+ω^2+2\)
\(=-1+2\)
\(=\)\(1\)
(4)
3項のまとまりの最初の項の指数は\(3\)の倍数となるので、\(ω^{30}\)が最後残ります。
\(1+ω+ω^2+・・・+ω^{30}\)
\(=(1+ω+ω^2)+(ω^3+ω^4+ω^5)\)\(+(ω^6+・・・\)\(+(ω^{27}+ω^{28}+ω^{29})\)\(+ω^{30}\)
\(=(1+ω+ω^2)+ω^3(1+ω+ω^2)\)\(+ω^6(1+・・・\)\(+ω^{27}(1+ω+ω^2)\)\(+ω^{30}\)
\(=0+0+・・・+0+ω^{30}\)
\(=(ω^3)^{10}\)
\(=\)\(1\)
(例題2)
\(n\)は正の整数とする。\(x^n\)を\(x^2+x+1\)で割ったときの余りを求めよ。
\(x^n=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b\)
より、\(x^2+x+1=0\) となる\(x\)を代入しますが、それは\(x=ω\)です。
(解答)
2次式で割った余りなので\(ax+b\)とおけて、実数係数の整式を実数係数の整式で割った余りなので\(a,b\)は実数。このとき商を\(Q(x)\)とおくと
\(x^n=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b\)・・・①
ここで、\(x^2+x+1=0\) を満たす解の1つを\(ω\)(虚数)とおくと
\(ω^2+ω+1=0\)
両辺に \(ω-1\)をかけて
\(ω^3-1=0\)
よって \(ω^3=1\)
①に\(x=ω\)を代入して
\(ω^n=aω+b\)・・・②
(ア)\(1=ω^3=ω^6=・・・\)\(=ω^{3k}\)
(イ)\(ω=ω^4=ω^7=・・・\)\(=ω^{3k+1}\)
(ウ)\(ω^2=ω^5=ω^8=・・・\)\(=ω^{3k+2}\)
の3パターンが考えられるので、\(n\)を3で割った余りで場合分けします。
以下\(k\)を整数として
(ア)\(n=3k\) (\(k≧1\))のとき
\(ω^n=ω^{3k}=(ω^3)^k=1\) より
②は \(1=aω+b\)
\(aω+b-1=0\)
\(a,b\)は実数、\(ω\)は虚数なので
\(a=0\), \(b=1\)
よって 余りは \(1\)
(イ)\(n=3k+1\) (\(k≧0\)) のとき
\(ω^n=ω^{3k+1}=(ω^3)^{k}・ω=ω\) より
②は \(ω=aω+b\)
\((a-1)ω+b=0\)
同様に
\(a=1\), \(b=0\)
よって 余りは \(x\)
(ウ)\(n=3k+2\) (\(k≧0\)) のとき
\(ω^n=ω^{3k+2}=(ω^3)^{k}・ω^2=ω^2\) より
②は \(ω^2=aω+b\)
\(ω^2+ω+1=0\) より \(ω^2=-ω-1\) だから
\(-ω-1=aω+b\)
\((a+1)ω+b+1=0\)
同様に
\(a=-1\), \(b=-1\)
よって 余りは \(-x-1\)
以上より
\(k\)を整数として
\(n=3k\) (\(k≧1\))のとき 余り\(1\)
\(n=3k+1\) (\(k≧0\)) のとき 余り\(x\)
\(n=3k+2\) (\(k≧0\)) のとき 余り \(-x-1\)
以上です。御疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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