根号などが含まれる不等式の証明は、そのまま差をとるより、2乗して差をとる方法のほうが有効なことが多いです。ただし2乗する際には両辺が\(0\)以上であることを確認するのを忘れずに。
・2乗の差について
\(a≧0\),\(b≧0\)とする。
①\(a=b=0\)のときは
\(a^2=b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a=b\)
②\(a+b≠0\)のときは
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) と \(a+b>0\) より
\(a^2≧b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a≧b\)
(等号成立はともに \(a=b\) のとき)
結局②の等号成立 \(a=b\)に①を含めると
\(a^2≧b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a≧b\)
なお、\(a^2>b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a>b\) も同様に成り立ちます。
\(a>b\)のときも、\(a^2>b^2\)のときも、\(a≠0\)なので、\(a+b>0\)であり、②と同様の議論をすれば成り立つことが分かります。
\(a^2≧b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a≧b\)
\(a^2>b^2\) \(\leftrightarrow\) \(a>b\)
以上のことから、根号などを含み差を直接とって示しにくい場合には、両辺が\(0\)以上であることを確認して2乗の差をとってもよいことになります。
(例題)
(1)\(a,b\)は正の数とする。次の不等式を証明せよ。
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
(2)3つの正の数\(a,b,c\)について、次の不等式を証明せよ。
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)\(≦\sqrt{3(a+b+c)}\)
(解答)
(1)
(左辺)\(^2\)-(右辺)\(^2\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2\)
\(=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)\)
\(=2\sqrt{ab}>0\)
よって、\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2\) であり
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\), \(\sqrt{a+b}>0\)より
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
(2)
(右辺)\(^2\)-(左辺)\(^2\)
\(=\{\sqrt{3(a+b+c)}\}^2\)\(-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\)
\(=3(a+b+c)\)\(-(a+b+c+2\sqrt{ab}\)\(+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})\)
\(=2a+2b+2c-(2\sqrt{ab}\)\(+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})\)
(2乗の形が作れるように、\(2a,2b,2c\)を分離してさらに並び替える)
\(=a+a+b+b\)\(+c+c\)\(-(2\sqrt{ab}\)\(+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})\)
\(=(a-2\sqrt{ab}+b)\)\(+(b-2\sqrt{bc}+c)\)\(+(c-2\sqrt{ca}+a)\)
\(=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\)\(+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\)\(≧0\)・・・(※)
よって、\((\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\)\(≦\{\sqrt{3(a+b+c)}\}^2\) であり
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>0\), \(\sqrt{3(a+b+c)}>0\) より
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)\(≦\sqrt{3(a+b+c)}\)
等号は、\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) かつ \(\sqrt{b}=\sqrt{c}\) かつ \(\sqrt{c}=\sqrt{a}\) のとき、
つまり\(a=b=c\) のときに成り立つ。
\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\)\(+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\)\(=0\)
なので、\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) かつ \(\sqrt{b}=\sqrt{c}\) かつ \(\sqrt{c}=\sqrt{a}\) のときです。
\(\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}\) より \(a=b=c\) となります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。