相加相乗平均①

相加相乗平均について学んでいきます。
使っていい場合と、使うタイミングについても見ていきます。

・相加相乗平均

(証明)
(左辺)ー(右辺)
\(=\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\)\(≧0\)

等号は、\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)のとき、つまり \(a=b\) のとき成立する。

相加相乗平均を使用するタイミングについてですが、
①逆数の和の形があるとき　や　②和を積で(積を和で)評価したい場合(和と積の大小関係を証明する場合)　などです。特に①では分数を含む関数の最小値、\(x+\displaystyle\frac{1}{x}\) の最小値を微分(数Ⅲ)を習っていない、使うことができない文系の方などの強力な武器となります。(相加相乗と最小値については次回扱います)

なお、和のほうの平均\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\)を相加平均、積のほうの平均\(\sqrt{ab}\)を相乗平均といいます。つまり (相加平均)≧(相乗平均) となります。

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)は、文字2つの場合の相加相乗平均についての不等式ですが、文字3つ以上の場合は例題2の最後に少しだけ触れます。

(例題1)\(a,b,c\)は正の数とする。次の不等式を証明せよ。
(1)\(a+\displaystyle\frac{4}{a}≧4\)

(2)\(a+\displaystyle\frac{4}{a+1}≧3\)

(3)\((a+\displaystyle\frac{1}{b})(b+\displaystyle\frac{4}{a})\)\(≧9\)

(4)\((a+b)(b+c)(c+a)\)\(≧8abc\)

(解答)
(1)

\(a>0\), \(\displaystyle\frac{4}{a}>0\) より、相加相乗平均を考えて

\(a+\displaystyle\frac{4}{a}≧2\sqrt{a・\displaystyle\frac{4}{a}}=4\)

よって、\(a+\displaystyle\frac{4}{a}≧4\) である。
等号成立は、\(a=\displaystyle\frac{4}{a}\) のとき、つまり\(a^2=4\) のときで、\(a>0\)より \(a=2\) のとき。

(2)

(解答)
\(a+\displaystyle\frac{4}{a+1}\)
\(=(a+1)+\displaystyle\frac{4}{a+1}-1\)

ここで、\(a+1>0\), \(\displaystyle\frac{4}{a+1}\) より、相加相乗平均の関係から

\((a+1)+\displaystyle\frac{4}{a+1}\)\(-1\)
\(≧2\sqrt{(a+1)\displaystyle\frac{4}{a+1}}\)\(-1\)\(=4-1\)\(=3\)

よって、\(a+\displaystyle\frac{4}{a+1}≧3\) が成り立つ。

等号は、\(a+1=\displaystyle\frac{4}{a+1}\) のとき、つまり、\((a+1)^2=4\) のときで\(a>0\)より、\(a=1\)のときに成立。

(3)

\((a+\displaystyle\frac{1}{b})(b+\displaystyle\frac{4}{a})\)
\(=ab+\displaystyle\frac{4}{ab}+5\)

\(≧2\sqrt{ab・\displaystyle\frac{4}{ab}}+5\)　(\(ab>0\),\(\displaystyle\frac{4}{ab}>0\)より)
\(=9\)

よって、\((a+\displaystyle\frac{1}{b})(b+\displaystyle\frac{4}{a})\)\(≧9\) が成り立つ。

等号成立は、\(ab=\displaystyle\frac{4}{ab}\) のとき、つまり\(ab=2\) のとき。

(4)

\(a,b,c\)が正の数だから、相加相乗平均を考えて

\(a+b≧2\sqrt{ab}\)・・・①
\(b+c≧2\sqrt{bc}\)・・・②
\(c+a≧2\sqrt{ca}\)・・・③

これらの辺々を掛けると
\((a+b)(b+c)(c+a)≧8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

よって与えられた不等式は示された。
等号成立は、①～③のすべてで等号が成り立つときで、\(a=b\) かつ \(b=c\) かつ \(b=c\) より、\(a=b=c\) のとき。

(例題2)
\(A,B,a_1,a_2,a_3,a_4\) を正の実数とする。
(1)\(\displaystyle\frac{A+B}{2}≧\sqrt{AB}\)を利用して
\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4})^4\)\(≧a_1a_2a_3a_4\)　を証明せよ。

(2)\(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)\(=\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\) を満たす\(a_4\)を考えて、(1)を利用して
\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3\)\(≧a_1a_2a_3\) 　を証明せよ。

(解答)
(1)
\(A=\displaystyle\frac{a_1+a_2}{2}(>0)\),　\(B=\displaystyle\frac{a_3+a_4}{2}(>0)\) とすれば

\(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\)\(≧\sqrt{AB}\)

よって、\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4})^4\)\(≧A^2B^2\)

また、
\(A=\displaystyle\frac{a_1+a_2}{2}\)\(≧\sqrt{a_1a_2}\),　\(B=\displaystyle\frac{a_3+a_4}{2}\)\(≧\sqrt{a_3a_4}\) だから
\(A^2B^2≧a_1a_2a_3a_4\)

したがって

\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4})^4\)\(≧a_1a_2a_3a_4\)

等号成立は、\(a_1=a_2\) かつ　\(a_3=a_4\) かつ、\(\displaystyle\frac{a_1+a_2}{2}=\displaystyle\frac{a_3+a_4}{2}\) のときで、つまり\(a_1=a_2=a_3=a_4\) のとき。

(2)
\(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)\(=\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\) のとき

\(a_4=\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\) であり、(1)より

\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^4\)\(≧a_1a_2a_3\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)

よって、両辺を \(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)で割ると

\((\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3\)\(≧a_1a_2a_3\)

等号は(1)より \(a_1=a_2=a_3(=a_4)\) の時に成り立つ。

(1)(2)の証明した不等式を変形すると

\(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\)\(≧\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}\)

\(\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)\(≧\sqrt[3]{a_1a_2a_3}\)

です。一般的な相加相乗平均の関係については

が成立します。(等号は \(a_1=a_2=・・・=a_n\) のとき成立)

証明は概要だけを説明すると

①(1)の操作の繰り返しにより、\(n=2,4,8,16,32・・・\)のときに成り立つことを示し(数学的帰納法で示す)
②①で証明された各\(n=2,4,8,16,32・・・・\)を出発点として逆向きの帰納法(\(n=k\)のとき成り立つならば、\(n=k-1\)のときも成り立つ)で証明します。((2)の方法と同様)

①でとびとびの値のときに成り立つこと示して、②で逆向きの帰納法で間を埋めるイメージです。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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