内積とベクトルの大きさ①

内積とベクトルの大きさに関する問題について見ていきます。

(例題1)
\(|\vec{a}|=1\),　\(|\vec{b}|=(ア)\),　\(\vec{a}\cdot\vec{b}=(イ)\) とすると、\(|\vec{a}+t\vec{b}|\) は \(t=2\) のとき最小値 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) をとる。

(解答)
\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}+t\vec{b})\)
\(=|\vec{a}|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2\)

(\(t\)を変化させたときの最小値を考えるので、\(t\)の関数とみる)

\(=|\vec{b}|^2t^2+(2\vec{a}\cdot\vec{b})t+1\)・・・①

ここで、\(|\vec{b}|=0\) つまり \(\vec{b}=\vec{0}\) とすると、\(|\vec{a}+t\vec{b}|\) は\(t\)の値によらず\(1\)になり、不適。

よって、\(|\vec{b}|≠0\) であり (①は\(t\)の2次関数となる)

①\(=|\vec{b}|^2\left(t+\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)^2-\displaystyle\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{b}|^2}+1\)

\(|\vec{a}+t\vec{b}|>0\) より、\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2\)は
\(t=2\) のとき最小値 (\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})^2\) をとるから

\(-\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}=2\)・・・②
\(-\displaystyle\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{b}|^2}+1=\displaystyle\frac{1}{3}\)・・・③

②より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}≠0\) だから (\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)とすると②式が成り立たない)
\(-\displaystyle\frac{1}{|\vec{b}|^2}=\displaystyle\frac{2}{\vec{a}\cdot\vec{b}}\)

これを③に代入して
\(\displaystyle\frac{2(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{\vec{a}\cdot\vec{b}}+1=\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(2\vec{a}\cdot\vec{b}+1=\displaystyle\frac{1}{3}\)
よって
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\displaystyle\frac{1}{3}\)

②より
\(\displaystyle\frac{1}{3|\vec{b}|^2}=2\)
\(|\vec{b}|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}\)

(例題2)
2つのベクトル \(\vec{a},\vec{b}\) について、
\(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\),　\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=\displaystyle\frac{1}{3}\),　\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)
が成り立っている。

(1)この2つのベクトルのなす角を\(θ\)とするとき、\(θ\)の値を求めよ。ただし \(0°≦θ≦180°\) とする。
(2)\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\) の値を求めよ。
(3)\(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) の値を求めよ。

(解答)
(1)
\(\cosθ=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

よって \(θ=30°\)

(2)
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=\displaystyle\frac{1}{3}\) より

\(|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=\displaystyle\frac{1}{3}+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)

よって
\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=\displaystyle\frac{7}{3}\)

(3)

\((|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\)

(2)と条件式から
\((|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2=\displaystyle\frac{7}{3}+\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}=\displaystyle\frac{7+2\sqrt{12}}{3}\)

\(|\vec{a}|+|\vec{b}|>0\) より
\(|\vec{a}|+|\vec{b}|=\sqrt{\displaystyle\frac{7+2\sqrt{12}}{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{4}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\)

よって \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) は、2次方程式
\(t^2-(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}+1)t+\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}=0\)
の2解である。

\((t-1)(t-\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3})=0\)
\(t=1,\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

したがって
\(1\) または \(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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