チェバ,メネラウスの定理とベクトル

交点のベクトル表示を求める問題などは、チェバの定理、メネラウスの定理を用いて解くことができる場合があります。まずはこれらの定理についておさらいしておきます。(証明は省略します)

・チェバの定理
\(△ABC\)の3頂点\(A,B,C\)と、三角形の辺上またはその延長上にない点\(O\)とを結んで3直線をひく。3直線\(AO,BO,CO\)が対辺\(BC,CA,AB\)またはその延長と交わるとき、交点をそれぞれ\(P,Q,R\)とすると

\(\displaystyle\frac{BP}{PC}\cdot\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{AR}{RB}=1\)

とくに\(O\)を\(△ABC\)の内部にとると次のような図になります。

・メネラウスの定理
\(△ABC\)の辺\(BC,CA,AB\)またはその延長が、三角形の頂点を通らない1直線とそれぞれ点\(P,Q,R\)で交わるとき

\(\displaystyle\frac{BP}{PC}\cdot\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{AR}{RB}=1\)

とくに1直線が辺と交わるときは次のような図になります。

(例題)
\(△OAB\)において、辺\(OA\)を \(s:(1-s)\) の比に内分する点を\(P\)、辺\(OB\)を \(t:(1-t)\) の比に内分する点を\(Q\)とする。また、\(BP\)と\(AQ\)との交点を\(R\)、\(OR\)の延長と辺\(AB\)の交点を\(S\)とする。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\),　\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\),　\(0<s<1\),　\(0<t<1\) とするとき

(1)\(\overrightarrow{OR}\) を \(\vec{a},\vec{b},s,t\) で表せ。
(2)\(\overrightarrow{OS}\) を \(\vec{a},\vec{b},s,t\) で表せ。

(解答)
(1)(2)

チェバの定理より
\(\displaystyle\frac{AS}{SB}\cdot\displaystyle\frac{1-t}{t}\cdot\displaystyle\frac{s}{1-s}=1\)
\(\displaystyle\frac{AS}{SB}=\displaystyle\frac{t(1-s)}{s(1-t)}\)
よって
\(AS:SB=t(1-s):s(1-t)\)・・・①

また
\(△OAS\)と直線\(PB\)についてメネラウスの定理から、①より
\(\displaystyle\frac{s+t-2st}{s(1-t)}\cdot\displaystyle\frac{SR}{RO}\cdot\displaystyle\frac{s}{1-s}=1\)
\(\displaystyle\frac{SR}{RO}=\displaystyle\frac{(1-s)(1-t)}{s+t-2st}\)
よって
\(SR:RO=(1-s)(1-t):(s+t-2st)\)・・・②

①より \(t(1-s)+s(1-t)=s+t-2st\) だから

\(\overrightarrow{OS}=\displaystyle\frac{s(1-t)\vec{a}+t(1-s)\vec{b}}{s+t-2st}\)

\(=\displaystyle\frac{s(1-t)}{s+t-2st}\vec{a}+\displaystyle\frac{t(1-s)}{s+t-2st}\vec{b}\)

また②より \((1-s)(1-t)+(s+t-2st)=1-st\) だから

\(\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{s+t-2st}{1-st}\overrightarrow{OS}\)

\(=\displaystyle\frac{s(1-t)}{1-st}\vec{a}+\displaystyle\frac{t(1-s)}{1-st}\vec{b}\)

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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