\(x\)の2次式の因数分解などの場合、2次方程式の解の公式を利用して因数分解できます。
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)の解は、\(b^2-4ac\text{ ≧ }0\)のとき
\(x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
ここで2解を\(α、β\)とおくと
\(α＋β=\displaystyle \frac{-2b}{2a}=-\displaystyle \frac{b}{a}\)
\(αβ=\displaystyle \frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\displaystyle \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\)
\(=\displaystyle \frac{c}{a}\)
よって \(ax^2+bx+c\)
\(=a(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\displaystyle\frac{c}{a})\)
\(=a\{(x-(α+β)x+αβ\}\)
\(=a(x-α)(x-β)\) ・・・①
つまり2次方程式の2解を求めて、2解\(α、β\)を①に代入すれば因数分解できたことになります。ただし係数\(a\)を忘れないように。
例)
\(36x^2+59x+24\)を因数分解する。
\(36x^2+59x+24=0\)を解くと、\(x=-\displaystyle\frac{8}{9},-\displaystyle\frac{3}{4}\)
よって、\(36x^2+59x+24\)
\(=36\{x-(-\displaystyle\frac{8}{9})\}\{x-(-\displaystyle\frac{3}{4})\}\)
\(=9(x+\displaystyle\frac{8}{9})・4(x+\displaystyle\frac{3}{4})\)
\(=(9x+8)(4x+3)\)