組合せを利用した確率の問題について考えていきます。
(例題1)
袋の中に白球4個、黒球5個が入っている。5球を取り出すとき、白球が2個、黒球3個でる確率を求めよ。
同じものも区別して扱います。
(解答)
白球4つを、白1,2,3,4、黒球5つを、黒1,2,3,4,5 とする。
(異なる)9個の中から(異なる)5個取り出す方法は、\({}_9\mathrm{C}_5\)通り。
白球4つから2個取り出し、黒球5つから3個取り出す方法は、\({}_4\mathrm{C}_2×{}_5\mathrm{C}_3\) 通り。
よって求める確率は
\(\displaystyle\frac{{}_4\mathrm{C}_2×{}_5\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_5}=\)\(\displaystyle\frac{10}{21}\)
\({}_9\mathrm{C}_5\)通りは9個の球すべてを区別しているからこの値になります。区別しないと、(白,黒)=(0,5),(1,4),(2,3),(3,4),(4,1) (各個数) となり、5通りしかなく、この5通りは同様に確からしくありません。
(例題2)
赤、青、黄、緑の球が、それぞれ4個ずつ合計16個が箱の中に入っている。この箱の中から4個の球を取り出すとき、ちょうど3種類の色が現れる確率を求めよ。
赤、青、黄、緑の球が、それぞれ4個ずつ合計16個が箱の中に入っている。この箱の中から4個の球を取り出すとき、ちょうど3種類の色が現れる確率を求めよ。
同じく16個の球すべて区別します。
まず、4種類から3種類を選びます(\({}_4\mathrm{C}_3\))。
次に、例えば選んだ3種類が赤・青・黄とすると、この中から2個取り出す種類を1つ選びます。(\({}_3\mathrm{C}_1\))
あとは、赤2個、青1個、黄1個とすると、それぞれ4個からその個数を選ぶ場合の数を考えます。(\({}_4\mathrm{C}_2,{}_4\mathrm{C}_1,{}_4\mathrm{C}_1\))
まず、4種類から3種類を選びます(\({}_4\mathrm{C}_3\))。
次に、例えば選んだ3種類が赤・青・黄とすると、この中から2個取り出す種類を1つ選びます。(\({}_3\mathrm{C}_1\))
あとは、赤2個、青1個、黄1個とすると、それぞれ4個からその個数を選ぶ場合の数を考えます。(\({}_4\mathrm{C}_2,{}_4\mathrm{C}_1,{}_4\mathrm{C}_1\))
(解答)
16個の球から4個の球を取り出す方法は \({}_{16}\mathrm{C}_4\) 通り。
このうち4個の球がちょうど3種類の色である場合は、2個だけ同じ色の球となるときである。
16個の球から4個の球を取り出す方法は \({}_{16}\mathrm{C}_4\) 通り。
このうち4個の球がちょうど3種類の色である場合は、2個だけ同じ色の球となるときである。
まず、4種類から3種類を選ぶ方法は、\({}_4\mathrm{C}_3=4\) 通り。
3種類から2個だけ同じ色の球の色1種類を選ぶ方法は、\({}_3\mathrm{C}_1=3\) 通り。
選んだ3色に対して、球を2個、1個、1個と選ぶ方法は、\({}_4\mathrm{C}_2×{}_4\mathrm{C}_1×{}_4\mathrm{C}_1\)\(=6×4×4\) 通り。
以上より求める確率は
\(\displaystyle\frac{4×3×(6×4×4)}{{}_{16}\mathrm{C}_4}=\)\(\displaystyle\frac{288}{455}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。