2次関数と確率の融合問題について見ていきます。
(例題)
5個の数、\(-2,-1,0,1,2\) から重複を許して3個の数\(a,b,c\)を選ぶとき、
関数 \(y=ax^2+2bx+c\) のグラフが\(x\)軸と共有点をもたない確率\(p\)を求めよ。
判別式を使いますが、\(a=0\)の場合もあるので、\(a=0,a≠0\) で場合分けします。全事象は、\(a\)にあたる数が5通り、\(b,c\)も同様なので、\(5^3\) 通りです。
起こりうる全ての場合は、\(5^3\) 通り。
このうちグラフが\(x\)軸と共有点をもたない場合を考える。
このうちグラフが\(x\)軸と共有点をもたない場合を考える。
(ア) \(a=0\)のとき
関数は、\(y=2bx+c\) で、
\(b≠0\) のときは、1次関数となるので\(x\)軸と共有点をもつ。
\(b=0\) のときは \(y=c\) となり、\(c≠0\) ならば \(x\)軸と共有点をもたないので、全部で \(4\) 通り。
関数は、\(y=2bx+c\) で、
\(b≠0\) のときは、1次関数となるので\(x\)軸と共有点をもつ。
\(b=0\) のときは \(y=c\) となり、\(c≠0\) ならば \(x\)軸と共有点をもたないので、全部で \(4\) 通り。
(イ)\(a≠0\)のとき
判別式を\(D\)とすると、グラフが\(x\)軸と共有点をもたない場合は、
\(\displaystyle\frac{D}{4}=b^2-ac<0\) つまり \(b^2<ac\)・・・①
判別式を\(D\)とすると、グラフが\(x\)軸と共有点をもたない場合は、
\(\displaystyle\frac{D}{4}=b^2-ac<0\) つまり \(b^2<ac\)・・・①
(1) \(b=±2\) のとき
①は \(4<ac\) であり
これを満たす\(a,c\)の組は存在しない。
(2) \(b=±1\) のとき
①は \(1<ac\) であり、これを満たす\(a,c\) は
\((a,c)=(1,2),(-1,-2),(2,1)\)\(,(-2,-1),(2,2),(-2,-2)\) であり
全部で \(2×6=12\)(通り)
①は \(1<ac\) であり、これを満たす\(a,c\) は
\((a,c)=(1,2),(-1,-2),(2,1)\)\(,(-2,-1),(2,2),(-2,-2)\) であり
全部で \(2×6=12\)(通り)
(3) \(b=0\) のとき
①は \(0<ac\) であり、これを満たす\(a,c\) は
\((a,c)=(1,1),(-1,-1)\)\((1,2),(-1,-2),(2,1)\)\(,(-2,-1),(2,2),(-2,-2)\) であり
全部で \(8\)(通り)
\((a,c)=(1,1),(-1,-1)\)\((1,2),(-1,-2),(2,1)\)\(,(-2,-1),(2,2),(-2,-2)\) であり
全部で \(8\)(通り)
以上(ア)(イ)より
\(p=\displaystyle\frac{4+12+8}{5^3}=\)\(\displaystyle\frac{24}{125}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。