条件式が与えられている恒等式の問題について見ていきます。
(例題)
\(2x+y-3z=3\)・・・①, \(3x+2y-z=2\)・・・② を満たすすべての実数\(x,y,z\)に対して、
\(px^2+qy^2+rz^2=12\)・・・③ が成立するような定数\(p,q,r\)の値を求めよ。
条件式①②が無い場合は、③は\(x,y,z\)3文字についての恒等式ですが、
条件式は、文字3つ式2つなので、1文字を使って他の2文字を表すことできます。(例えば\(x,y\)を\(z\)の式で表すことができます。)
よって、恒等式 \(px^2+qy^2+rz^2=12\) は実質1文字の恒等式です。
条件式は、文字3つ式2つなので、1文字を使って他の2文字を表すことできます。(例えば\(x,y\)を\(z\)の式で表すことができます。)
よって、恒等式 \(px^2+qy^2+rz^2=12\) は実質1文字の恒等式です。
(解答)
①②より、\(x,y\)を\(z\)の式で表す。
①×2ー②より \(y\)を消去して
\(x-5z=4\) よって \(x=5z+4\)・・・④
①×3ー②×2より \(x\)を消去して
\(-y-7z=5\) よって \(y=-7z-5\)・・・⑤
④⑤を③に代入して
\(p(5z+4)^2+q(-7z-5)^2+\)\(rz^2\)\(=12\)
整理して
\((25p+49q+r)z^2+2(20p+35q)z\)\(+16p+25q\)\(=12\)
この等式がすべての\(z\)について成り立つので\(z\)の恒等式であるから
\(25p+49q+r=0\)・・・(1)
\(20p+35q=0\)・・・(2)
\(16p+25q=12\)・・・(3)
(2)(3)より \(q=-4\), \(p=7\)
(1)より \(r=21\)
答え \(p=7\), \(q=-4\), \(r=21\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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