空間ベクトルの大きさに関する例題について見ていきます。
(例題1)
どの3点も同一直線上にない空間の4点\(O,A,B,C\)がある。ベクトルの大きさの間に
\(|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2-|\overrightarrow{AC}|^2\) の関係があるとき、ベクトル\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{BC}\)は垂直であることを証明せよ。
(解答)
\(|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2-|\overrightarrow{AC}|^2\) より
\(|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2-|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}|^2\)
\(|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{OB}|^2-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{OA}|^2-(|\overrightarrow{OC}|^2-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{OA}|^2)\)
\(2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=0\)
\(\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=0\)
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
ここで、\(\overrightarrow{OA}=\vec{0}\) とすると\(O\)と\(A\)が一致し、3点\(O,A,B\)(実質2点)は1直線上にあるので、\(\overrightarrow{OA}≠\vec{0}\)。同様に\(\overrightarrow{BC}≠\vec{0}\)。
したがって、\(\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC}\)
(例題2)
\(O\)を原点とする座標空間で、3つのベクトル \(\vec{a}=(1,1,1)\), \(\vec{b}=(1,2,3)\), \(\vec{c}=(1,-1,0)\) をとり、実数\(s,t\)に対して \(\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+\vec{b}\), \(\overrightarrow{OQ}=t\vec{c}\) とする。
(1)原点\(O\)と点\(P\)の距離が最小となるときの\(s\)の値およびそのときの距離を求めよ。
(2)点\(P\)と点\(Q\)の距離が最小となるときの\(s,t\)の値およびそのときの距離を求めよ。
(解答)
(1)
\(\overrightarrow{OP}\)
\(=s(1,1,1)+(1,2,3)\)
\(=(s+1,s+2,s+3)\)
\(|\overrightarrow{OP}|^2\)
\(=(s+1)^2+(s+2)^2+(s+3)^2\)
\(=3s^2+12s+14\)
(2次関数なので平方完成して)
\(=3(s+2)^2+2\)
よって、\(s=-2\) のとき最小となり 最小距離は \(\sqrt{2}\)
(2)
\(\overrightarrow{OP}=(s+1,s+2,s+3)\)
\(\overrightarrow{OQ}=(t,-t,0)\) より
\(\overrightarrow{PQ}=(t-s-1,-t-s-2,-s-3)\)
よって
\(|\overrightarrow{PQ}|^2\)
\(=(t-s-1)^2+(-t-s-2)^2+(-s-3)^2\)
\(=3s^2+12s+2t^2+2t+14\)
\(=3(s+2)^2+2(t+\displaystyle\frac{1}{2})^2-12-\displaystyle\frac{1}{2}+14\)
\(=3(s+2)^2+2(t+\displaystyle\frac{1}{2})^2+\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(s,t\)は実数なので、\((s+2)^2≧0\), \((t+\displaystyle\frac{1}{2})^2≧0\)
よって \(s=-2\), \(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき最小で
最小距離は \(\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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