三角関数の極限の例題です。
(例題1)次の極限値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}\)
(2)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle\frac{5}{x}\)
(3)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\cos7x-\cos3x}{x^2}\)
(4)\(\displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{2}}\cos3x\tan5x\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}(\displaystyle\frac{\sin x}{x})^2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\cos x}\)
\(=1^2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)
(これは公式として覚えてしまってもよいですが、\(2\)になるのか\(\displaystyle\frac{1}{2}\)になるのか分からなくなったら同じ手順で導いてください)
(2)
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle\frac{5}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{5}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x}}\)
にすれば、\(\displaystyle\frac{0}{0}\) 形になります。つまり、\(x=\displaystyle\frac{1}{t}\) と変換するとうまくいくことになります。(\(x\)そのままでやってもよいです)
\(x=\displaystyle\frac{1}{t}\) とおくと、\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) だから
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle\frac{5}{x}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to +0}\displaystyle\frac{\sin5t}{t}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to +0}\displaystyle\frac{\sin5t}{5t}\cdot5\) (\(5t\)をつくり調整)
\(=5\)
(3)
(和積を利用すると)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\cos7x-\cos3x}{x^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{-2\sin5x\sin2x}{x^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin5x}{5x}\cdot\displaystyle\frac{\sin2x}{2x}\cdot(-2)\cdot5\cdot2\) (\(5x,2x\)を作り最後に調整)
\(=-20\)
(別解)\(\cos7x+\cos x\)を掛けて、\(\sin\)を作る方法
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\cos7x-\cos3x}{x^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\cos^27x-\cos^23x}{x^2(\cos7x+\cos3x)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{-\sin^27x+\sin^23x}{x^2(\cos7x+\cos3x)}\) (\(\cos^2θ=1-\sin^2θ\)を利用した)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{\cos7x+\cos3x}\left\{-\displaystyle\frac{\sin^27x}{(7x)^2}\cdot49+\displaystyle\frac{\sin^23x}{(3x)^2}\cdot9\right\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(-49+9)\)
\(=-20\)
(4)
\(t=x-\displaystyle\frac{π}{2}\) (\(x=t+\displaystyle\frac{π}{2}\)) とおくと
\(x \to \frac{π}{2}\) のとき \(t \to 0\) だから
\(\displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{2}}\cos3x\tan5x\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\cos(3t+\displaystyle\frac{3π}{2})\tan(5t+\displaystyle\frac{5π}{2})\)
(\(2π\)の整数倍を足し引きしても変わらないので)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\cos(3t-\displaystyle\frac{π}{2})\tan(5t+\displaystyle\frac{π}{2})\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\cos(\displaystyle\frac{π}{2}-3t)\tan(5t+\displaystyle\frac{π}{2})\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\sin3t\cdot\displaystyle\frac{-1}{\tan5t}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}(-\cos5t)\cdot\displaystyle\frac{\sin3t}{\sin5t}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}(-\cos5t)\cdot\displaystyle\frac{\sin3t}{3t}\cdot\displaystyle\frac{5t}{\sin5t}\cdot\displaystyle\frac{3}{5}\)
\(=-\displaystyle\frac{3}{5}\)
(例題2)次の極限値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)
(2)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) (\(x\)は度数とする)
(3)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x})\)
(解答)
(1)
\(-1≦\sin x≦1\) だから、\(x\)が十分大きいとき(正の数のとき)
\(-\displaystyle\frac{1}{x}≦\displaystyle\frac{\sin x}{x}≦\displaystyle\frac{1}{x}\)
よってはさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=0\)
(2)
\(\displaystyle\frac{π}{180}x=t\) (\(t\)の単位は[rad]) とおくと
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) (\(x\)は度数)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{\sin t}{\displaystyle\frac{180}{π}t}=\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{\sin t}{t}\cdot\displaystyle\frac{π}{180}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{180}\)
(3)
\(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}≒\sin\sqrt{x}-\sin\sqrt{x}=0\)
です。よって\(0\)に収束すると予想できますが、解答にするなら和積の公式を利用するとよいでしょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x})\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to \infty}-2\cos\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\)
(\(\cos\)の中身は\(\infty\)に向かうので、\(1\)と\(-1\)を行ったりきたりする。\(\sin\)の中身は\(x \to \infty\)のとき\(0\)に向かうことが予想できるが、有理化するとよくわかる)
\(=\displaystyle\lim_{x \to \infty}-2\cos\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to \infty}-2\cos\displaystyle\frac{t}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{1}{2t}\)
ここで
\(-1≦\cos \displaystyle\frac{t}{2}≦1\) だから、\(t\)が十分大きいとき \(\sin\displaystyle\frac{1}{2t}>0\) より
\(-\sin\displaystyle\frac{1}{2t}≦\cos\displaystyle\frac{t}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{1}{2t}≦\sin\displaystyle\frac{1}{2t}\)
\(t \to \infty\) のとき、左辺と右辺は\(0\)に収束するからはさみうちの原理から
\(\displaystyle\lim_{t \to \infty}\cos\displaystyle\frac{t}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{1}{2t}=0\)
したがって
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x})=0\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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