・命題の否定②(ならばの否定)
\(p→q\) (\(p\)ならば\(q\)) の否定は、「この命題が成立しない例がある」で、「\(p\)であって\(q\)でないものがある」です。 \(p→\overline q\) ではありません。
つまり否定は「反例がある」ということになります。反例の存否(「反例がある」の真偽)自体はケースバイケースです。
(例)\(x\)を実数とするとき
命題「\(x≧2\) ならば \(x^3>8\)」の否定を述べよ。
命題「\(x≧2\) ならば \(x^3>8\)」の否定を述べよ。
(解答)
命題(a) 「\(x≧2\) ならば \(x^3>8\)」の否定は
命題(b) 「\(x≧2\) であって \(x^3≦8\) である\(x\)がある」です。
命題(a) 「\(x≧2\) ならば \(x^3>8\)」の否定は
命題(b) 「\(x≧2\) であって \(x^3≦8\) である\(x\)がある」です。
ちなみに命題(a)は偽(反例:\(x=2\))で、否定命題(b)は真です。
命題とその命題の否定の真偽は入れ替わります。
命題とその命題の否定の真偽は入れ替わります。
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