文章問題 (最大最小)

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2次関数の文章問題です。日本語で書かれた文章をうまく数式に翻訳します。

 

(問題)
一定の長さの針金を2つの部分に分け、その1つで円を、他の1つで正方形をつくる。つくった円と正方形の面積の和が最小となるのは、針金をどのような割合で分けるときか。

 

針金全体の長さ(一定)を\(l\)として、円のほうの針金の長さを\(x\)とおけば、正方形の針金の長さを\(x\)を用いて表すことができます。注意すべきなのは針金の長さが存在しないといけないことから、円・正方形の針金の長さの両方の値が正であるという条件をつけなければならないことです。

(解答)
針金全体の長さを \(l\) (定数) として、円をつくる針金の長さを \(x\) とすれば、正方形をつくる針金の長さは \(l-x\) 。どちらの図形も針金の長さが存在する、すなわち長さの値が正なので、\(x>0\) かつ \(l-x>0\)。 よって \(0<x<l\)・・・①
このとき、円の半径は \(\displaystyle\frac{x}{2\pi}\) 、正方形の1辺は\(\displaystyle\frac{l-x}{4}\)。円と正方形の面積の和を\(S\)とすれば

\(S=π(\displaystyle\frac{x}{2\pi})^2+(\displaystyle\frac{l-x}{4})^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi}x^2+\displaystyle\frac{1}{16}(l-x)^2\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{4\pi}+\displaystyle\frac{1}{16})x^2-\displaystyle\frac{l}{8}x+\displaystyle\frac{l^2}{16}\)
\(=\displaystyle\frac{π+4}{16π}(x^2-\displaystyle\frac{2πl}{π+4}x)+\displaystyle\frac{l^2}{16}\)
\(=\displaystyle\frac{π+4}{16π}(x-\displaystyle\frac{πl}{π+4})^2-\displaystyle\frac{πl^2}{16(π+4)}+\displaystyle\frac{l^2}{16}\)
\(=\displaystyle\frac{π+4}{16π}(x-\displaystyle\frac{πl}{π+4})^2+\displaystyle\frac{l^2}{4(π+4)}\)・・・②

①と②について軸と定義域の位置関係を調べます。\(π≒3\)とするとおおよそ軸は\(x=\displaystyle\frac{3}{7}l\)となるので①の範囲にあることがわかります。

\(0<\displaystyle\frac{π}{π+4}<1\)から、
\(0<\displaystyle\frac{πl}{π+4}<l\)となり、②の2次関数について①の範囲内に軸があるのでグラフは下図のようになる。

最大最小 文章題

したがって、\(x=\displaystyle\frac{πl}{π+4}\)のとき\(S\)は最小となり、正方形の針金の長さは、\(l-x=l-\displaystyle\frac{πl}{π+4}=\displaystyle\frac{4l}{π+4}\)。

針金の長さの比は

\(x:l-x=\displaystyle\frac{πl}{π+4}:\displaystyle\frac{4l}{π+4}=\)\(π:4\)

比に\(l\)が含まれていないので、針金全体の長さは関係ないことが分かります。(全体の長さはどのような長さでもよい)

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。

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