2次方程式の解き方についておさらいしましょう。
・2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解き方
②\(x^2=k\) (\(k>0\)) のとき \(x=±\sqrt{k}\)
③解の公式の利用
①は方程式が、\((px+q)(rx+s)=0\)と因数分解できる場合、
\(AB=0\)ならば \(A=0\)または \(B=0\)を利用して、
\(px+q=0\) または \(rx+s=0\) より、
方程式の解は、\(x=-\displaystyle\frac{q}{p}\) または \(x=-\displaystyle\frac{s}{r}\) となります。
②は平方根の定義そのものです。
③の解の公式は、\(b^2-4ac≧0\) のとき
\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) です。
\(ax^2+bx+c=0\)を、平方完成して
(\(x\)の1次式)\(^2\)=定数 の形に変形することで公式を導くことができます。
(解の公式の証明)
2次式の標準形 (→(1-1)関数の基礎と2次関数の基本形)
\(ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2-\displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a}\) より
\(ax^2+bx+c=0\) は
\(a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2-\displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) となる。移項して両辺\(a\)で割って
\((x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
\(b^2-4ac≧0\)のとき、(右辺)\(≧0\)となるので
\(x+\displaystyle\frac{b}{2a}=±\sqrt{\displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)
ここで、
\(a>0\)のとき、\(\sqrt{4a^2}=|2a|=2a\)
\(a<0\)のとき、\(\sqrt{4a^2}=|2a|=-2a\)
となるので、\(a\)の正負に関係なく
\(x+\displaystyle\frac{b}{2a}=±\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
ゆえに
\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
・\(x\)の係数が\(2×□\)の解の公式
\(b\)が偶数の場合\(x\)の係数が\(2×□\)の形の解の公式を覚えておくと、計算が楽になります。
2次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\) (\(b’^2-ac≧0\))の解は、
\(x=\displaystyle\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)
(証明)
\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) に\(b=2b’\)を代入すると、
\(\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4b’^2-4ac}=2\sqrt{b’^2-ac}\) より
\(x=\displaystyle\frac{-2b’±2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}\)
\(x=\displaystyle\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)
(\(b^2-4ac≧0\) より \(4(b’^2-ac)≧0\) よって \(b’^2-ac≧0\) となる)
(例題)次の2次方程式を解け
(1) \(x^2-x-6=0\)
(2) \(x^2+14x-67=0\)
(解答)
(1)左辺を因数分解すると
\((x-3)(x+2)=0\)
よって、\(x=-2,3\)
(2)\(b=14=2×7\)だから、\(b’=7\)として
\(x=\displaystyle\frac{-7±\sqrt{7^2-1(-67)}}{1}\)
\(x=-7±\sqrt{116}=\)\(-7±2\sqrt{29}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。