放物線の定義について見ていきます。
・放物線
「定点\(F\)と、\(F\)を通らない直線\(l\)からの距離が等しい点の軌跡」
を放物線とよび、\(F\)を焦点、直線\(l\)を準線とよびます。
簡単のために、\(F(0,p)\)、準線を \(y=-p\) (ただし\(p≠0\)) と設定して、放物線の方程式を求めてみます。
放物線上の点を \(Q(x,y)\) として、\(Q\)から準線に下ろした垂線の足を\(H\)とすれば
\(FQ=QH\) より
\(\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|\)
両辺正であり、2乗すると
\(x^2+(y-p)^2=(y+p)^2\)
整理すると
\(x^2=4py\)・・・①
(①が成り立つとき、逆を辿れば \(FQ=QH\) が成り立つので①は放物線であるための必要十分条件となる)
①は基本的な放物線の方程式であり、標準形とよびます。
ここで、数Ⅰで扱った 放物線
\(y=2x^2\) は①の形に変形すると
\(x^2=\displaystyle\frac{1}{2}y\)
\(x^2=4\cdot\displaystyle\frac{1}{8}\cdot y\)
となるので、焦点 \((0,\displaystyle\frac{1}{8})\)、準線 \(y=-\displaystyle\frac{1}{8}\) とする放物線であることが分かります。
今度は、焦点を\((p,0)\)、準線を \(x=-p\) とする放物線の方程式を同様に求めてみると
\(y^2=4px\) (標準形)
となります。
また、放物線の焦点を通り準線に垂直な直線を放物線の軸、軸と放物線の交点を頂点とよびます。
放物線は軸について対称であり、特に標準形の放物線の軸は座標軸、頂点は原点になります。
(例題)
(1)放物線 \(y=x^2\) の焦点の座標と、準線の方程式を求めよ。
(2)焦点が \((3,0)\)、準線が \(x=-3\) である放物線の方程式を求めよ
(3)頂点が \((0,0)\)、準線が \(x=-\displaystyle\frac{1}{8}\) である放物線の方程式を求めよ。
(解答)
(1)
\(y=x^2\) より
\(x^2=4\cdot\displaystyle\frac{1}{4}\cdot y\) だから
焦点 \((0,\displaystyle\frac{1}{4})\)
準線 \(y=-\displaystyle\frac{1}{4}\)
(2)
\(y^2=4\cdot3\cdot x\) より
\(y^2=12x\)
(3)
条件より放物線の方程式は
\(y^2=4px\) と表せ・・・(注)、\(p=\displaystyle\frac{1}{8}\) となるから
\(y^2=\displaystyle\frac{1}{2}x\)
(注)
頂点が\((0,0)\)だけだと、回転された放物線の場合もあるので、\(y^2=4px\) と表せるとは限りません。しかしこの例題だと準線が \(x=-\displaystyle\frac{1}{8}\) (\(y\)軸に平行) と定まっているので、標準形の形に表せることが分かります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→楕円の定義