双曲線の定義

双曲線の定義について見ていきます。

・双曲線
「2定点\(F,F’\)からの距離の差が一定である点の軌跡」
(ただし、距離の差は線分\(FF’\)の長さより小さいとする)

を双曲線とよび、2点\(F,F’\)をその焦点とよびます。

楕円の場合と同様にまず焦点が\(x\)軸上にあるときから扱っていきます。

(焦点が\(x\)軸上にあるとき)
簡単のため、焦点を \(F(c,0),\ F'(-c,0)\)  (\(c>0\)) とし、この2点からの距離の差(一定値)を\(2a\) (\(a>0\)) として、双曲線の方程式を求めてみます。

双曲線上の点を\(P(x,y)\)とすると
\(|PF-PF’|=2a\) より
\(|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}|=2a\)・・・①
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=±2a\)

(ア)\(+2a\) について (左側の曲線になる)
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\) より
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺\(0\)以上の値だから2乗して
\((x-c)^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2\)
整理して
\(-cx-a^2=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)・・・②
2乗して・・・(注)
\(c^2x^2+2a^2cx+a^4=a^2\{(x+c)^2+y^2\}\)
整理して
\((c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)
条件より \(2c>2a\) つまり \(c>a\) だから、\(a^2(c^2-a^2)\) で両辺割ると
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)

\(b=\sqrt{c^2-a^2}\ (>0)\) ・・・③　とおくと双曲線の方程式
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)・・・④
となることが分かり、これを標準形とよびます。
また、③より焦点の座標\(c\)は\(a,b\)を用いると
\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)
と表すことができます。

(イ)\(-2a\) について (右側の曲線になる)
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=-2a\) より
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)
両辺\(0\)以上だから2乗して
\((x+c)^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)
整理すると
\(cx-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)・・・⑤
2乗して・・・(注)
\(c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2\{(x-c)^2+y^2\}\)
\((c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)
\(a^2(c^2-a^2)\ (≠0)\) で割ると
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)

\(b=\sqrt{c^2-a^2}\ (>0)\) ・・・③　とおくと同様の方程式が得られれます。
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)・・・④

次に双曲線④のグラフの特徴について整理します。
楕円と同様に④の左辺は2次の項しかないので「\(x\)軸、\(y\)軸、原点について対称」

焦点\(F,F’\)を通る直線を主軸、主軸と双曲線の2交点を頂点、線分\(FF’\)の中点を中心とよびます。特に標準形では中心は原点になり、④の形では頂点は \(A'(-a,0),A(a,0)\) となります。
よって、\(c>a\) より座標平面上では左から \(F’,A’,A,F\) の順に並ぶことになります。

また④は \(y^2=b^2(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-1)\) であり、\(y^2≧0\) より双曲線のグラフが存在する範囲は、\(x≦-a\) または \(x≧a\) です(横広がり型になる)。

(注)十分性について
楕円と同様に十分性を確認してみます。つまり
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)・・・④　(\(a>0,\ b>0\))
が成り立つとき、
\(|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}|=2a\)・・・①
が成り立つことを調べればよいことになりますが、今回は1つ目の2乗は両辺\(0\)以上であったので、2つ目の2乗だけを調べることになります。

\(-cx-a^2=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)・・・②
\(cx-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)・・・⑤

の右辺は\(0\)以上の値なので、左辺が\(0\)以上であることが分かれば完了ですが、②⑤はそれぞれ\(2a,-2a\)の場合で変形してできた式で、双曲線の左側では\(PF\)が大きい(右側では\(PF’\)が大きい)ことに着目すると、双曲線の左側 \(x≦-a\) と 右側 \(x≧a\) で分けて処理すればよいことになります。\(c>a>0\) に注意すると

(ア’)\(x≦-a\) のとき
\(-cx-a^2≧ca-a^2=a(c-a)>0\)
となるので、(ア)を逆向きに辿れば①が成り立つ。

(イ’)\(x≧a\) のとき
\(cx-a^2≧ca-a^2=a(c-a)>0\)
となるので、(イ)を逆向きに辿れば①が成り立つ。

したがって④は双曲線であるための必要十分条件となります。

(焦点が\(y\)軸上にあるとき)
焦点を \(F(0,c),\ F'(0,-c)\)  (\(c>0\)) とし、この2点からの距離の差(一定値)を\(2b\) (\(b>0\)) とします。条件より \(c>b\) であり

双曲線上の点を\(P(x,y)\)とすると
\(|PF-PF’|=2b\) より
\(\sqrt{x^2+(y-c)^2}-\sqrt{x^2+(y+c)^2}=±2b\)

焦点が\(x\)軸上にある場合と同様に\(±2b\)それぞれで変形していくと
\(\displaystyle\frac{x^2}{c^2-b^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=\color{red}{-1}\)
が導かれ、
\(a=\sqrt{c^2-b^2}\ (>0)\) (\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)) とおくと次の双曲線の方程式が導かれます。
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=-1\)  (標準形:縦広がり型)

性質をまとめると次のようになります。

(例題)
(1)2点 \((3,0),(-3,0)\) からの距離の差が\(4\)である点の軌跡の方程式を求めよ。
(2)双曲線 \(-9x^2+4y^2=1\) の焦点と頂点の座標を求めよ。

(解答)
(1)
軌跡は双曲線で焦点が\(x\)軸上にあるので、
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)  (\(a>0,b>0\)) とおける。
\(2a=4\) より \(a=2\)
また、\(b^2=3^2-a^2=5\)
したがって求める軌跡の方程式は
\(\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{y^2}{5}=1\)

(2)
\(-9x^2+4y^2=1\) より
\(\displaystyle\frac{x^2}{\displaystyle\frac{1}{9}}-\displaystyle\frac{y^2}{\displaystyle\frac{1}{4}}=-1\)

よって焦点は\(y\)軸上にありその\(y\)座標を \(y=±c\) とおくと
\(c=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{4}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{6}\)
となるから焦点の座標は
\((0,\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{6}),(0,-\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{6})\)

また主軸は\(y\)軸なので頂点は\(y\)軸上にあるため、\(x=0\) を代入して
\(y^2=\displaystyle\frac{1}{4}\)
\(y=±\displaystyle\frac{1}{2}\)

したがって頂点の座標は
\((0,\displaystyle\frac{1}{2}),(0,-\displaystyle\frac{1}{2})\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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