2次曲線となる軌跡②(双曲線)

双曲線の定義を利用する軌跡の問題です。

(例題)
2つの円 \(C_1:x^2+y^2=1\)、\(C_2:(x-3)^2+y^2=4\) に外接する半径\(r\)  (\(r>0\)) の円の中心を\(P\)とする。\(r\)を動かすとき、点\(P\)の描く軌跡が満たす方程式を求めよ。

(解答)

\(A(3,0)\) とおくと条件より
\(OP=r+1\)、\(AP=r+2\)
よって
\(AP-OP=1\)・・・①

したがって\(P\)は \((0,0),(3,0)\) を焦点とし距離の差が\(1\)である双曲線を描く。ただし、①より \(AP>OP\) だから、双曲線の左側のみになる。・・・(注1)

上記双曲線を\(x\)軸方向に \(-\displaystyle\frac{3}{2}\) だけ平行移動した双曲線は、\((-\displaystyle\frac{3}{2},0),(\displaystyle\frac{3}{2},0)\) を焦点とする双曲線で
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)　(\(a>0,b>0\))
と表すことができる。
\(2a=1\) より \(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)
また、\(b^2=(\displaystyle\frac{3}{2})^2-(\displaystyle\frac{1}{2})^2=2\) となるから、平行移動後の双曲線の方程式は
\(4x^2-\displaystyle\frac{y^2}{2}=1\)

したがって求める軌跡の方程式は、\(x\)軸方向に\(\displaystyle\frac{3}{2}\) だけ平行移動して戻すと
\(4(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2-\displaystyle\frac{y^2}{2}=1\)・・・②

また、\(r=0\) のとき
\(OP=1\)、\(AP=2\)
であり、このとき \(P(1,0)\) となりこの点は②上にあるので、\((1,0)\)は除かれる。・・・(注2)

したがって求める軌跡の方程式は
\(4(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2-\displaystyle\frac{y^2}{2}=1\)　(\(x<1\))

(注1)
通常の双曲線では、\(F,F’\)を焦点とすると
\(|PF-PF’|=2a\)
つまり \(PF-PF’=±2a\)
であり、\(PF,PF’\)の大小は関係なく、両側に曲線が現れることになります。
この例題だと、\(PA-PO=1>0\) より大小関係が定まっているので片側(左側)にしか曲線が現れません。

(注2)
2円\(C_1,C_2\)は 点\((1,0)\) で接しているので、ちょうどこの点に\(P\)がくるとき \(PA-PO=1\) は満たしますが \(r=0\) となってしまうので円が存在しません。よってこれを除外する必要があります。解答では数式処理ではなく2次曲線の定義を利用するために図形的に処理しているので消去した\(r\)について \(r>0\) を満たすかどうかを判断する必要があります。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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