曲線と2次曲線の交点の個数の問題です。
(例題)
\(a\)を実数とする。\(xy\)平面上に
楕円 \(C_1:\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1\)
放物線 \(C_2:y=\displaystyle\frac{x^2}{2}+a\)
がある。\(C_1\)と\(C_2\)の共有点の個数を\(a\)の値によって分類せよ。
\(2y^2+y-2-a=0\)・・・(※) (\(y\)の2次方程式)
になります。判別式で考えると、実数解の個数は\(2,1,0\)個と分類できますが、この個数がそのまま共有点の個数になりません。なぜかというと、\(x\)についても2次式になっているので、\(x\)も実数解の個数が\(2,1,0\)個となる可能性があるからです。
\(x\)が実数となるためには、楕円が存在する\(y\)の範囲を調べれば \(-1≦y≦1\) であることはすぐ分かります。このうち \(y=±1\) は\(x\)が重解になり(つまり\(y\)1つに対して\(x\)が1つになる)、それ以外の \(-1<y<1\) は\(y\)1つに対して\(x\)が2つ対応することに注意して処理していきます。
(※)のまま処理することも可能ですが、定数分離すると解\(y\)の値が視覚的に分かり便利です。
(解答)
\(C_1:\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1\)・・・①
\(C_2:y=\displaystyle\frac{x^2}{2}+a\)・・・②
\(C_1,C_2\)の共有点の個数は①②を満たす実数\((x,y)\)の組の個数である。
①②より\(x^2\)を消去すると、①かつ②は次の連立方程式と同値である。
\(\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1\)・・・①
\(\displaystyle\frac{1}{2}(y-a)+y^2=1\)・・・③
(②かつ③としても理屈上はよいが、\(a\)が両方に残るので①にしたほうが楽)
③を整理して
\(2y^2+y-2=a\)・・・④
①より \(x^2=4(1-y^2)≧0\) だから、\(y\)の2次方程式④の実数解1つについて
(i)\(y<-1,\ y>1\) のとき対応する実数\(x\)は\(0\)個
(ii)\(y=±1\) のとき対応する実数\(x\)は\(1\)個
(iii)\(-1<y<1\) のとき対応する実数\(x\)は\(2\)個
となる。
また、④の実数解は\(yt\)平面において
\(t=2y^2+y-2\) と \(t=a\)
の共有点の\(y\)座標である。
\(t=2y^2+y-2\)
\(=2(y+\displaystyle\frac{1}{4})^2-\displaystyle\frac{17}{8}\)
\(y=-1,1\) のとき \(t=-1,1\) になることに注意して
上記グラフから\(C_1,C_2\)の共有点の個数は
\(a<-\displaystyle\frac{17}{8}\) のとき \(0\)個
\(a=-\displaystyle\frac{17}{8}\) のとき \(2\)個
\(-\displaystyle\frac{17}{8}<a<-1\) のとき \(4\)個
\(a=-1\) のとき \(3\)個
\(-1<a<1\) のとき \(2\)個
\(a=1\) のとき \(1\)個
\(a>1\) のとき \(0\)個
(参考)
境目である \(a=-\displaystyle\frac{17}{8},-1,1\) に着目して、上記結果より\(a\)の変化による共有点の個数の変化をグラフで追うと次のようになります。
\(a=-\displaystyle\frac{17}{8},-1,1\) ではその前後を考えると異なる2点が近づいて1点になる瞬間であることが分かるので、2曲線が接していることになります。
(\(a=-\displaystyle\frac{17}{8}\) では異なる2点で接する。\(a=-1\) では1点で接して2点で交わる。\(a=1\) では1点で接し他に共有点はなし。)
ところで
\(2y^2+y-(2+a)=0\)・・・④
の判別式\(D\)が\(0\)になるときを調べると
\(1+8(2+a)=\) より \(a=-\displaystyle\frac{1}{8}\) であり、このとき重解は \(y=-\displaystyle\frac{1}{4}\) だから \(-1≦y≦1\) の範囲に存在するので接すると判断ができます。
しかし、\(a=±1\) の場合は \(D=0\) で現れません。この違いは \(a=-\displaystyle\frac{17}{8}\) では \(4\)個→\(2\)個 の共有点の変化を考えると、異なる\(y\)の2実数解\(y_1,y_2\)が重なるのでこちらは重解になるのに対し、\(a=±1\) の場合は共有点としては異なる2点が重なるのは同じなのですが、解\(y\)としては同じ\(y_1\)(\(y_2\))のままなので重解にはならないことが原因です。
よって、この例題のように2曲線がどちらも \(y=(xの整式)\) で表されていない場合には単純に判別式や重解だけで接することを判断することができません。もし判別式や重解で判断する場合には、重解の値が曲線の存在範囲に入っているか(消去した文字の方も実数になっているか)の確認を忘れないようにして、他の接する場合は別途グラフ等で判断することになります。
なお\(y\)を消去して\(x\)の方程式(4次方程式になる)で処理すると、\(a=±1\) の場合も異なる\(x\)が重なる状態になるので重解になります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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