光源によってできる影の曲線の方程式を求める例題です。
(例題)
\(a\)が与えられた実数のとき、\(xyz\)空間の点 \(C(a,0,3)\) から出た光が球 \(x^2+y^2+(z-1)^2≦1\) でさえぎられてできる\(xy\)平面上の影を\(S\)とする。点 \((X,Y,0)\) が\(S\)に含まれる条件を求めよ。
影は光が球に当たるときにできるので、光源を通る直線の方程式(ベクトルを用いる)を使って、この直線が球と共有点をもつ条件を考えればよいことになります。直線上の点の座標を球の不等式に代入することになるので、ベクトル方程式を \((X,Y,0)=\cdots\) ではなく \((x,y,z)=\cdots\) の形にするとよいです。
(解答)
\(P(X,Y,0)\) とおくと、直線\(CP\)が球(表面及び内部)と共有点をもつとき\(P\)は影になる。
球上の点を \((x,y,z)\) とすると、この点は直線\(CP\)上にあるので
\((x,y,z)=(a,0,3)+k(X-a,Y,-3)\) (\(k\)は実数)
と表せる。よって
\(x=a+k(X-a)\)・・・①
\(y=kY\)・・・②
\(z=3-3k\)・・・③
①~③を
\(x^2+y^2+(z-1)^2≦1\)・・・④
に代入して
\(\{a+k(X-a)\}^2+k^2Y^2+(2-3k)^2≦1\)
\(k\)について整理して
\(\{(X-a)^2+Y^2+9\}k^2+2\{a(X-a)-6\}k+a^2+3≦0\)・・・⑤
⑤を満たす実数\(k\)が存在すればよいので・・・(注)
⑤の\(k^2\)の係数が正の値であることから
\(\{a(X-a)-6\}^2-\{(X-a)^2+Y^2+9\}(a^2+3)≧0\)
以下整理していくと
\(-3(X-a)^2-12a(X-a)-(a^2+3)Y^2-9a^2+9≧0\)
\(-3X^2-6aX-(a^2+3)Y^2≧-9\)
\(3(X+a)^2+(a^2+3)Y^2≦3(3+a^2)\)
したがって\(X,Y\)の条件は
\(\displaystyle\frac{(X+a)^2}{a^2+3}+\displaystyle\frac{Y^2}{3}≦1\)
(影は楕円になる)
(注)について
\(\{(X-a)^2+Y^2+9\}k^2+2\{a(X-a)-6\}k+a^2+3≦0\)・・・⑤
を満たす実数\(k\)が存在すれば
\((x,y,z)=(a,0,3)+k(X-a,Y,-3)\)
より、球上の点\((x,y,z)\)が\(k\)によって表すことができるので、球と直線\(CP\)は共有点をもつことになります。よって実数であればよいので、解の大きさは問いません。(実際には求めた\(X,Y\)の条件と⑤により\(k\)の値はある程度は制限されますが、この問題を解くにはそこまで考慮する必要はないです)
ところで解答では不等式⑤で処理しましたが、球面上の点だけを考えて等式で処理してもよいです(球の内部についてはそれでカバーできる)。その場合は⑤は
\(\{(X-a)^2+Y^2+9\}k^2+2\{a(X-a)-6\}k+a^2+3=0\)・・・⑤’
となり、同様に条件は「(判別式)≧0」ですが、実数\(k\)の個数は判別式の符号により\(2,1,0\)個に分類されます。これを図で考えると直線\(CP\)と球面の共有点の個数が\(2,1,0\)個という位置関係になります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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