測量問題

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三角比を利用して測量の問題を解いてみます。

(問題)
ある建物の高さを測るため、その建物から\(10m\)離れた地点で高さ\(1.5m\)の位置から建物の上端\(P\)の仰角を測ったところ\(65°\)であった。\(tan65°=2.1445\)として、建物の高さを求めよ。ただし\(1m\)未満を四捨五入せよ。

測量1 三角比
図で点Oから点Pをみるとき、OPと水平面のなす角をPがOを通る水平面より上側にあるならば仰角(ぎょうかく)、下側にあるならば俯角(ふかく)とよびます。

(解答)
建物の高さを\(xm\)とする。下図より
\(PQ=x-1.5\)・・・①
また \(PQ=10tan65°\)・・・②
①②より \(x=1.5+10tan65°=1.5+21.445=22.945≒23\)
(答)\(23m\)

測量2 三角比

②は 三角比の定義から導くことができます。
\(\displaystyle\frac{PQ}{10}=tan65°\) の両辺に\(10\)を掛けると、\(PQ=10tan65°\)

同様に下図の三角形について以下の公式が成り立ちます。

\(a=c\) \(sinθ\)
\(b=c\) \(cosθ\)
\(a=b\) \(tanθ\)

これらは定義より導かれますが、瞬時に出せるように公式として覚えてしまった方がよいです。図と対応させて覚えましょう。三角比 測量3

 

 

 

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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