(問題)
\(\sinθ+\cosθ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)・・・① (\(0°<θ<180°\))のとき、次の式の値を求めよ。
(1) \(\sinθ\cosθ\)
(2) \(\sin^3θ+\cos^3θ\)
(3) \(\sinθ-\cosθ\)
(4) \(\tanθ-\displaystyle\frac{1}{\tanθ}\)
条件式①と、\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) から、具体的に\(\sinθ,\cosθ\)を求めることもできますが、具体的に求めずに各式の値を出してみます。
(解答)
(1)①の両辺を2乗して
\(\sin^2θ+2\sinθ\cosθ+\cos^2θ=\displaystyle\frac{1}{2}\)
よって、\(1+2\sinθ\cosθ=\displaystyle\frac{1}{2}\)
したがって、\(\sinθ\cosθ=-\displaystyle\frac{1}{4}\)・・・②
(2)
3次の因数分解の公式 \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\) を利用します。
\(\sin^3θ+\cos^3θ\)
\(=(\sinθ+\cosθ)(\sin^2θ-\sinθ\cosθ+\cos^2θ)\)
\(=(\sinθ+\cosθ)(1-\sinθ\cosθ)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\displaystyle\frac{1}{4})\) (①②を代入)
\(=\)\(\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{8}\)
\(=(\sinθ+\cosθ)(\sin^2θ-\sinθ\cosθ+\cos^2θ)\)
\(=(\sinθ+\cosθ)(1-\sinθ\cosθ)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\displaystyle\frac{1}{4})\) (①②を代入)
\(=\)\(\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{8}\)
(3)
\((\sinθ-\cosθ)^2\)を考えます。最後に2乗を外すときのために、\(\sinθ-\cosθ\) の符号を吟味します。
\(0°<θ<180°\) では \(\sinθ>0\) で、②より \(\cosθ<0\)
よって \(\sinθ-\cosθ>0\)
よって \(\sinθ-\cosθ>0\)
また、\((\sinθ-\cosθ)^2\)
\(=\sin^2θ-2\sinθ\cosθ+\cos^2θ\)
\(=1-2\sinθ\cosθ\)
\(=1-2(-\displaystyle\frac{1}{4})\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(=\sin^2θ-2\sinθ\cosθ+\cos^2θ\)
\(=1-2\sinθ\cosθ\)
\(=1-2(-\displaystyle\frac{1}{4})\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
以上から、\(\sinθ-\cosθ=\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}=\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\)
(4)
\(\tanθ-\displaystyle\frac{1}{\tanθ}\)
\(=\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}-\displaystyle\frac{\cosθ}{\sinθ}\)
\(\tanθ-\displaystyle\frac{1}{\tanθ}\)
\(=\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}-\displaystyle\frac{\cosθ}{\sinθ}\)
\(=\displaystyle\frac{\sin^2θ-\cos^2θ}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{(\sinθ+\cosθ)(\sinθ-\cosθ)}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}÷(-\displaystyle\frac{1}{4})\) (①,②,(3)から)
\(=\)\(-2\sqrt{3}\)
\(=\)\(-2\sqrt{3}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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